Integración mediante división larga

a ver intenta resolver está integral ya lo intentaste bueno entonces vamos a trabajar en este ejercicio juntos seguramente te diste cuenta que no hay ninguna técnica tradicional que hayamos visto que se aplique directamente a esta integral por ejemplo hacer una sustitución no nos va a servir de nada y muchas de las otras técnicas tampoco nos van a ayudar el chiste aquí es notar que esto de aquí es una expresión racional es una división de dos expresiones algebraicas donde además el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador en este caso en particular son exactamente iguales ahora cuando tenemos estas expresiones racionales lo que tenemos que hacer es la división algebraica en la que tomamos este numerador x menos 5 y dividimos esta expresión algebraica entre el denominador menos 2x 2 ok y hacemos una simple división de expresiones algebraicas entonces para hacer esta división nos fijamos en los términos de mayor grado o sea estos dos términos y nos preguntamos cuántas veces cabe menos dos equis y pues cabe menos un medio veces cierto menos un medio ok entonces multiplicamos menos un medio por todo esto menos un medio por dos es menos uno menos uno luego menos un medio por menos dos x menos con menos es más y luego dos por un medio es uno así es que nos queda simplemente una equis entonces a x 5 le tenemos que restar x menos 1 así es que ponemos el menos por aquí y menos por menos gusta más y nos queda pues estas x se cancelan y nos queda simplemente menos x más 1 que es un menor 4 y esta división algebraica lo que nos dice es que podemos escribir a todo esto de aquí como menos un medio menos un medio más menos 4 entre menos 2 x más 2 - 2 x más 2 todo esto es igual a esta fracción de aquí y lo queremos integrar con respecto a x y ahora lo que vamos a hacer es simplificar esta expresión de aquí o sea porque por ejemplo esta fracción podemos ver claramente que el 2 divide tanto el numerador como a todos los términos del denominador entonces vamos a dividir arriba y abajo entre 2 y además también nos podemos deshacer de este símbolo menos el numerador entonces pues vamos a hacerlo a ver estamos dividiendo numerador y denominador entre menos 2 entonces menos 4 entre menos 2 todo esto de aquí se convierte en un 2 y aquí en el denominador menos 2 x entre menos 2 pues es simplemente una equis y luego 2 entre menos 2 se convierte en un menos 1 pero bueno aquí ya quedó todo muy amontonado entonces vamos a volver a escribirlo y observa que lo único que hemos hecho aquí son puras cosas algebraicas aunque simplemente la división algebraica y luego un poco de simplificación de esta fracción aunque bueno algunos dirían que esto no es simplificar una fracción pero resulta que es muchísimo más fácil integrar estos dos términos que este entonces tenemos por aquí menos un medio 2 en el numerador entre x x menos uno menos uno y estamos integrando con respecto a x entonces queremos evaluar esta integral y bueno la anti derivada de menos un medio es súper sencilla es simplemente menos un medio x bueno pero cuál es la anti derivada de dos entre x menos 1 haber ya lo pensaste bueno pues la derivada de x menos 1 es simplemente un 1 entonces suena que tenemos a esta constante 2 x justo la derivada del logaritmo natural del valor absoluto de x menos 1 cierto donde estamos utilizando cuál es la derivada del logaritmo natural y una sustitución donde la uv es igual a x menos uno y de y está por aquí arriba que en realidad es un 1 por de x pero bueno como esto parece que está quedando muy confuso voy a hacerlo paso por paso veamos queremos saber cuál es la anti derivada de dos entre x menos 1 con respecto a equis y estamos diciendo que vamos a hacer una sustitución donde x1 es igual a 1 x menos 1 y entonces cuando derivamos aquí nos queda de x x 0 así es que esta integral es igual a la integral de una vez por todas podemos sacar este 2 aquí afuera 2 por la integral de 1 / ahora x menos 1 ahora se llama y de equis ahora se llama de y entonces ponemos de un bueno y aquí ya podemos utilizar directamente lo que sabemos del logaritmo entonces esto es igual aquí tenemos este 2 que no se nos debe de olvidar 2 y la anti derivada de esto es el logaritmo del valor absoluto de eeuu y tampoco se nos vaya a olvidar que tenemos que sumarle una constante ahora por aquí no tenemos ni un término que se llame entonces queremos dejarlo todo en términos de la x así es que tenemos que sustituir eso de que es igual a x menos 1 y nos queda simplemente como 2 por el logaritmo del valor absoluto de x menos 1 más la constante muy bien muy bien así es que por aquí la anti derivada de 2 / x menos uno es igual a 2 por el logaritmo del valor absoluto de x 1 valor absoluto siempre que tengamos una integral no se nos puede olvidar poner esta constante al final si estuviéramos yendo en el otro sentido osea si tuviéramos esta expresión y derivar amos pues la derivada de todo esto sería estuve aquí y la derivada de la constante siempre es cero así es que ya terminamos este es nuestro resultado