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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 6
Lección 2: Aproximar áreas con sumas de Riemann- Introducción a la aproximación de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Ejemplo resuelto: encontrar una suma de Riemann usando una tabla
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Ejemplo resuelto: sub y sobrestimación de sumas de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Sumas de punto medio
- Sumas trapezoidales
- Comprender la regla del trapecio
- Sumas con trapecios y de punto medio
- Repaso de sumas de Riemann
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Sumas de Riemann derecha e izquierda
Las áreas bajp una curva pueden estimarse con rectángulos. Tales estimaciones se llaman sumas de Riemann.
Supón que queremos encontrar el área bajo esta curva:
Tal vez luchemos para encontrar el área exacta, pero podemos aproximarla usando rectángulos:
Y nuestra aproximación mejora si usamos más rectángulos:
Este tipo de aproximaciones se llaman sumas de Riemann, y son una herramienta fundacional del cálculo. Nuestro objetivo, por ahora, es enfocarnos en comprender dos tipos de sumas de Riemann: sumas de Riemann izquierdas y sumas de Riemann derechas.
Sumas de Riemann izquierda y derecha
Para construir una suma de Riemann, debemos escoger cómo vamos a hacer nuestros rectángulos. Una posible solución es hacer nuestros rectángulos tales que toquen la curva con sus esquinas superiores izquierdas. A esta suma la llamamos suma de Riemann izquierda.
Otra elección es hacer que nuestros rectángulos toquen la curva con sus esquinas superiores derechas. A esta suma la llamamos suma de Riemann derecha.
Ninguna elección es estrictamente mejor que la otra.
Subdivisiones, o particiones, de las sumas de Riemann
Los términos "subdivisiones" o "particiones" son comúnmente mencionados cuando se trabaja con sumas de Riemann. Estos se refieren al número de partes en las que dividimos el intervalo en para construir los rectángulos. Dicho de forma sencilla, el número de subdivisiones (o particiones) es el número de rectángulos que usamos.
Las subdivisiones pueden ser uniformes, lo que significa que tienen iguales longitudes, o no uniformes.
Subdivisiones uniformes | Subdivisiones no uniformes |
---|---|
Problemas de sumas de Riemann con gráficas
Imagina que se nos pide aproximar el área entre y el eje de a .
Y que decidimos usar una suma de Riemann izquierda con cuatro subdivisiones uniformes.
Observa: cada rectángulo toca la curva con su esquina superior izquierda porque estamos usando una suma de Riemann izquierda.
Al sumar las áreas de los rectángulos, obtenemos unidades , que es una aproximación para el área bajo la curva.
Ahora hagamos algunas aproximaciones sin la ayuda de gráficas
Imagina que se nos pide aproximar el área entre el eje y la gráfica de desde a usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales. Para lograrlo, nos dan una tabla de valores de .
Un buen primer paso es determinar la longitud de cada subdivisión. La longitud del área entera que estamos aproximando es unidades. Si estamos utilizando tres subdivisiones iguales, entonces la base de cada rectángulo mide unidades.
De aquí, necesitamos determinar la altura de cada rectángulo. Nuestro primer rectángulo descansa en el intervalo . Como estamos usando una suma de Riemann derecha, su vértice superior derecho debe estar sobre la curva cuando , por lo que su valor es .
De forma similar, podemos encontrar que el vértice superior derecho del segundo rectángulo, que descansa en el intervalo , está en .
Nuestro tercer (y último) rectángulo tiene su vértice superior derecho en .
Ahora todo lo que resta es hacer las cuentas.
Primer rectángulo | Segundo rectángulo | Tercer rectángulo | |
---|---|---|---|
Base | |||
Altura | |||
Área |
Entonces, después de haber encontrado las áreas individuales, las sumamos para obtener nuestra aproximación: unidades .
Ahora imagina que se nos pide aproximar el área entre el eje y la gráfica de de a usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales.
El intervalo completo mide unidades, por lo que cada uno de los tres rectángulos debe tener unidades de ancho.
El primer rectángulo descansa en , por lo que su altura es . Similarmente, la altura del segundo rectángulo es y la del tercero es .
Primer rectángulo | Segundo rectángulo | Tercer rectángulo | |
---|---|---|---|
Base | |||
Altura | |||
Área |
Así, nuestra aproximación es de unidades .
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Las sumas de Riemann unas veces sobrestiman y otras veces subestiman
La sumas de Riemann son aproximaciones del área bajo una curva, por lo que casi siempre serán un poco más grandes que el área real (una sobrestimación) o un poco más pequeñas que el área real (una subestimación).
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Observa: que una suma de Riemann sea una sobrestimación o una subestimación depende de si la función es creciente o decreciente en el intervalo y de si la suma de Riemann es derecha o izquierda.
Claves para recordar
Aproximar el área bajo una curva con rectángulos
La primera cosa en la que debes pensar cuando escuchas las palabras "suma de Riemann" es que estás usando rectángulos para estimar el área bajo una curva. En tu mente, debes imaginar algo así:
Mejor aproximación con más subdivisiones
En general, mientras más subdivisiones (es decir, rectángulos) usemos para aproximar el área, mejor será la aproximación.
Sumas de Riemann izquierdas vs. sumas de Riemann derechas
Trata de no mezclarlas. Una suma de Riemann izquierda usa rectángulos cuyos vértices superiores izquierdos están sobre la curva. Una suma de Riemann derecha usa rectángulos cuyos vértices superiores derechos están sobre la curva.
Suma de Riemann izquierda | Suma de Riemann derecha |
---|---|
Sobrestimación y subestimación
Cuando usamos sumas de Riemann, a veces obtenemos una sobrestimación y otras veces una subestimación. Es bueno ser capaces de razonar sobre si una suma de Riemann particular está sobrestimando o subestimando.
En general, si la función siempre es creciente o siempre es decreciente en un intervalo, podemos decir si la aproximación por suma de Riemann será una sobrestimación o una subestimación con base en si es una suma de Riemann derecha o izquierda.
Dirección | Suma de Riemann izquierda | Suma de Riemann derecha |
---|---|---|
Creciente | Subestimación | Sobrestimación |
Decreciente | Sobrestimación | Subestimación |
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- sino veo la figura me confundo con las alturas y la evaluación de la función(22 votos)
- Seme es un poco complicado y confuso sacar la altura cuando te dan una tabla(13 votos)
- Para mi es muy claro, y agradezco este material de apoyo para mis clases(7 votos)
- podria explicar un poco mas entendible?(3 votos)
- Hola a todos chavales,hago khan academy por feria(0 votos)
- Es complicado medir el área con solo las puras tablas tanto izquierda y derecha.(3 votos)
- No dejen tarea me estreso y sufro de ansiedad(2 votos)
- Esta confusa no se como acomodarcnesesito ver la figura para entender mejor(2 votos)
- estoy estudiando método de cambio de variable, pero no sé si faltara mucho(2 votos)
- Alguna manera de salcar la altura del rectangulo más rápido y sin confundirte tanto(1 voto)
- Puede ser así:
Base de todos los rectángulos que es la misma(altura1+alutra2+alutra3)
En otras palabras:
deltax(f(x1)+f(x2)+f(x3)...)(2 votos)
- me confunde la suma de riemann izquierda con la derecha(1 voto)