A estas alturas ya sabes que podemos usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Las sumas de Riemann utilizan rectángulos, y a veces resultan en aproximaciones medio malas. Pero ¿qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función?

Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").

Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función $f(x)=3\ln (x)$‍ en el intervalo $[2,8]$‍.

Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio $T_1$‍, al segundo $T_2$‍ y al tercero $T_3$‍:

Recuerda que el área de un trapecio está dada por $h\left({\displaystyle \frac{b_1+b_2}{2}}\right)$‍, donde $h$‍ es la altura y $b_1$‍ y $b_2$‍ son las longitudes de las bases.

Debemos pensar que el trapecio está de costado.

La altura $h$‍ es el $2$‍ en la parte baja de $T_1$‍ que genera el intervalo comprendido entre $x=2$‍ y $x=4$‍.

La primera base, $b_1$‍, es el valor de $3\ln (x)$‍ en $x=2$‍, es decir, $3\ln (2)$‍.

La segunda base, $b_2$‍, es el valor de $3\ln (x)$‍ en $x=4$‍, es decir, $3\ln (4)$‍.

Así es como se ve todo esto:

Pongamos todo esto junto para encontrar el área de $T_1$‍:

Simplifica:

Encontramos la altura y ambas bases:

Sustituye y simplifica:

Encontramos el área total de la aproximación al sumar el área de cada uno de los trapecios:

Esta es la respuesta final, ya simplificada: