Introducción a la aproximación de Riemann

vamos a aproximar el área que está por debajo de la gráfica de la función f x igual a x al cuadrado más 1 que queda entre los puntos 1 y 3 y para esto lo que vamos a hacer es construir 4 rectángulos que queden por debajo de la gráfica y que tengan el mismo largo vamos a pensar cómo se verían salen entonces el primer rectángulo llegaría más o menos por acá llegaría como a esta altura bueno a este a este lugar del intervalo el segundo rectángulo llegaría más o menos por aquí ahorita no me estoy concentrando en sus alturas sale ahorita pasamos a eso pero primero déjame nada más ver cómo serían de largo entonces ahí ahí van dos este sería el tercero el tercero y este que queda hasta acá sería el cuarto rectángulo entonces lo primero que vamos a pensar es cuando tendrían que tener de base para que todos tuvieran el mismo largo va entonces a esa base vamos a ponerle delta de x como le haríamos para calcular delta de x a pues delta de x va a ser igual a todo lo que se recorre en este intervalo a tres menos uno que es dos dividido entre la cantidad de rectángulos que queremos que son cuatro rectángulos esto sería igual a dos cuartos pero es lo mismo que un medio entonces delta de x es igual a un medio y por lo tanto podemos saber cuáles son los extremos de los intervalos que marcamos acá abajo verdad el primer rectangular el primer rectángulo idea de 1 a 1.5 el segundo rectángulo iría de 1.5 a 2 el tercer rectángulo iría de 2 a 2.5 que terminaría en 2.5 y ahí empezaría el cuarto y último rectángulo que va de 2.5 a 3 2.5 3 es la base de este último recta muy bien ahora si vamos a pensar en la altura en el transcurso de estos vídeos vamos a ver que hay varias formas de definir las alturas de estos rectángulos para hacer una aproximación pero ahorita para agarrar una en concreto lo que vamos a hacer es utilizar la función evaluada en el extremo izquierdo de cada intervalo para definir cuál va a ser la altura de los rectángulos déjame hacerlo para que veamos a qué me refiero por ejemplo para este primer rectángulo su intervalo es de 1 a 1.5 entonces su altura va a estar definida por la función evaluada en 1 que es el extremo izquierdo entonces llegaría aquí porque justo la gráfica nos indica dónde dónde o bueno cuál cuál es el valor de la función en este punto entonces el rectángulo se vería más o menos a ciudad tengamos un rectángulo de esta forma pasemos al segundo rectángulo aquí en el segundo rectángulo su altura su altura sería f de 1.5 que queda más o menos por acá le voy a poner efe de 1.5 y justo a esta altura tendríamos el segundo rectángulo entonces llegaría aquí y vamos a marcar su lado derecho el segundo rectángulo es este de acá muy bien pasemos al tercer rectángulo creo que ya veis más o menos cómo está la cosa verdad el tercer rectángulo para ver cuánto sería su altura pues nos fijamos en efe del extremo izquierdo y aquí el extremo izquierdo es 2 entonces su altura sería efe de 2 vale entonces tendríamos este rectángulo de acá de este rectángulo color rosa mexicano rosa mexicano y finalmente el cuarto y último rectángulo tendría altura efe de 2.5 efe de 2.5 entonces por aquí por aquí llegaría el rectángulo y se vería más o menos así vale entonces aquí estoy sombreando el área de el cuarto rectángulo muy bien entonces lo que hicimos fue fijarnos en el extremo izquierdo para determinar las alturas ahora si este cuánto sería la aproximación del área utilizando estos rectángulos de acá y ojo pues sí es una aproximación nada más verdad no es el área exacta porque no es el área exacta pues porque estamos regalando tantos cachitos de área mira este cachito de acá no lo estamos considerando este de acá no lo estamos considerando este de acá tampoco lo estamos considerando y este de acá tampoco si entonces esos cuatro cachitos sobran y por tanto nuestra aproximación es una aproximación por abajo no porque sea por debajo de la curva sino porque es una aproximación menor al área que queremos bueno ahora sí cuánto sería esa aproximación pues tendríamos que sumar el área de los rectángulos entonces vamos a calcular el área de cada uno y sumar y entonces el área del primer rectángulo pues su altura es f1 y su largo es un medio que es delta de x le voy a poner aquí delta de equis para entonces es la altura por la base eso es el área de un rectángulo a eso le vamos a sumar el área del segundo rectángulo su altura es f de 1.5 y su base es delta de x vamos con el tercero aquí el tercero el tercero su altura sería f 2 efe de 2 y eso hay que multiplicarlo por delta equis y finalmente hay que sumar el área del cuarto rectángulo su extremo izquierdo es 2.5 por lo tanto la altura es f de 2.5 efe de 2.5 y eso hay que multiplicarlo por el largo que sería delta de x muy bien recuerda esto de acá simplemente es un área aproximada me voy a poner aquí que es área aproximada este es un área aproximada vamos a ver cuánto nos da vamos a evaluar utilizando la función y utilizando este delta de x este delta de equis de acá entonces cuánto es f de 1 pues si ponemos 1 aquí arriba nos queda 1 al cuadrado que es uno más uno o sea 2 2 x un medio que por un medio y luego tenemos efe de 1.5 por delta x entonces sería más a ver f de 1.5 cuanto da 1.5 al cuadrado pues pensemos en 15 al cuadrado 15 al cuadrado de 225 recorriendo el punto decimal nos queda a 2.25 y más este 1 nos queda 3.25 y hay que multiplicar por delta x que es un medio luego más vamos con el tercer sumando 2 al cuadrados 415 nos quedaría 5 por delta equis que vale un medio está bueno esto verdad de que delta x sea siempre lo mismo más efe de 2.5 a 2.5 al cuadrado otra vez pensemos mejor en 25 por 25 que 625 recorremos el punto decimales 6.25 más este uno es 7.25 7.25 y hay que multiplicar por delta x que es un medio muy bien cuánto nos da esto de acá pues ve todos tienen un medio un medio un medio y un medio entonces lo que voy a hacer para para no andar este dividiendo entre dos tantas veces es factorizar ese un medio y él está ya voy a utilizar este color neutral vale para no andar cambiando tanto y que nos quedaría nos quedaría un medio un medio multiplicado por dos más 3.25 más 5 mas 7.25 7.25 muy bien déjame ver si puedo hacer esto mentalmente a ver 2 con 5 son 7 y llevamos 7 luego 3 con 7 son 10 van 17 y estos punto 25 nos juntan 1.5 entonces queda un medio de 17.572 y 5 7 3 y 7 10 van 17 y se juntan 1.5 muy bien y cuánto es la mitad de 17.5 pues es 8.75 muy bien entonces aquí ya tenemos un valor ya tenemos un numerito que nos da una aproximación y es una aproximación inferior o una aproximación por debajo no porque quede por debajo de la curva otra vez sino porque es un numerito que es menor que el área porque hay cachitos de área que no estamos considerando sale en los siguientes vídeos lo que vamos a hacer es generalizar esta idea ya no nos vamos a fijar únicamente en fx igual al cuadrado 1 sino que ahora vamos a tomar una función arbitraria una cantidad arbitraria de rectángulos en un intervalo arbitrario y después no sólo vamos a cambiar eso sino que además ya no vamos a tomar rectángulos cuya altura es el extremo izquierdo o bueno la función evaluada en el extremo izquierdo sino también va a ser la función evaluada en el extremo derecho o en el punto medio o incluso pueden ser cosas más rocas por ejemplo podemos aproximar el área con trapecio pero bueno hasta entonces diviértete y nos vemos hasta la próxima