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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 6
Lección 3: Sumas de Riemann, notación de suma y notación de integral definida- Notación de suma
- Notación de suma
- Ejemplos resueltos: notación de suma
- Notación de suma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Sumas de Riemann en notación sigma
- Ejemplo resuelto: sumas de Riemann en notación de suma
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- La integral definida como el límite de una suma de Riemann
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- Ejemplo resuelto: volver a escribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann
- Ejemplo resuelto: volver a escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida.
- La integral definida como el límite de una suma de Riemann
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Sumas de Riemann en notación sigma
La notación de suma puede usarse para escribir sumas de Riemann de forma compacta. Este es un paso difícil pero importante hacia una definición formal de la integral definida.
La notación de suma (o notación sigma) nos permite escribir una suma con muchos términos en una sola expresión. Mientras que la notación de suma tiene muchos usos en las matemáticas (y especialmente en el cálculo), queremos enfocarnos en cómo podemos usarla para escribir sumas de Riemann.
Ejemplo de escritura de una suma de Riemann en notación de suma
Imagina que estamos aproximando el área bajo la gráfica de entre y .
Y digamos que decidimos hacerlo escribiendo la expresión para una suma de Riemann derecha con cuatro subdivisiones iguales, usando notación de suma.
Sea el área del rectángulo en nuestra aproximación.
La suma de Riemann completa puede escribirse de la siguiente manera:
Lo que necesitamos hacer ahora es encontrar una expresión para .
La longitud del intervalo es unidades y queremos subdivisiones iguales, por lo que la de cada rectángulo mide unidades.
La de cada rectángulo es el valor de en el extremo derecho del rectángulo (porque es una suma de Riemann derecha).
Sea el extremo derecho del rectángulo. Para encontrar para cualquier valor de , comenzamos en (el extremo izquierdo del intervalo) y sumamos repetidamente la longitud común .
Por lo tanto, la fórmula de es . Ahora, la de cada rectángulo es el valor de en su extremo derecho:
Y así hemos llegado a una expresión general para el área del rectángulo:
Ahora todo lo que tenemos que hacer es sumar esta expresión para valores de de a :
¡Y terminamos!
Resumen del proceso para escribir una suma de Riemann en notación de suma
Imagina que queremos aproximar el área bajo la gráfica de en el intervalo con subdivisiones iguales.
Define : sea la longitud de la de cada rectángulo. Entonces, .
Define : sea el extremo derecho de cada rectángulo. Entonces, .
Define el área del rectángulo: entonces, la de cada rectángulo es , y el área de cada rectángulo es .
Suma los rectángulos: ahora usamos la notación de suma para sumar todas las áreas. Los valores que usamos para son diferentes para las sumas de Riemann izquierda y derecha:
- Cuando escribimos una suma de Riemann derecha, tomamos valores de
de a . - Sin embargo, cuando escribimos una suma de Riemann izquierda, tomamos valores de
de a (estos nos darán el valor de en el extremo izquierdo de cada rectángulo).
Suma de Riemann izquierda | Suma de Riemann derecha |
---|---|
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- como sale el 15/3 + 2i* 2/3(2 votos)
- Multiplico por 3 arriba y abajo en el cociente.
Eso es un 1 asi que no afecta a la expresion en si.(3 votos)