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Transcripción del video

en el vídeo pasado aproximamos el área por debajo de la gráfica de una función utilizando cuatro rectángulos que tenían el mismo largo y cuya altura estaba dada por la función evaluada en el extremo izquierdo de cada intervalo lo que quiero hacer en este vídeo es generalizar esta idea para una función arbitraria en un intervalo arbitrario con una cantidad arbitraria de rectángulos bueno déjame pasar aquí abajo para enseñarte a qué me refiero entonces por aquí por aquí voy a dibujar el eje que por acá voy a dibujar el eje x así más o menos grandes para que veamos qué sucede el eje x y lo que queremos es estimar el área por debajo de la gráfica de una función digamos ye igual a efe de x en un intervalo dado en el intervalo a coma b vale entonces queremos queremos estimar la región que queda entre esta pared y esta pared por debajo de la gráfica de la función y para hacer esto vamos a utilizar n rectángulos n rectángulos una vez más la altura de estos rectángulos va a estar dada por la función evaluada en el extremo izquierdo entonces el primer rectángulo pues quedaría aquí pegadito a y se vería algo más o menos de este estilo su altura sería f entonces esto de aquí es pelear y el rectángulo digamos que se ve algo de este estilo obama entonces aquí tenemos el primer rectángulo y este rectángulo empieza en nada y llega a un cierto punto vamos a ponerle un nombre a este punto vamos a ponerle x uno va ahora como vamos a querer que todos los puntos aquí abajo sean x con un subíndice a le vamos a llamar x 0 esto nada más es una convención para que después todo quede un poco más bonito vamos con el segundo rectángulo el segundo yo creo que es un poquito más chaparrito y osea ahora su altura sería de f x 1 y llegaría más o menos como por acá entonces ahí tenemos el rectángulo número 2 llegada al punto x 2 y de manera similar el rectángulo número 3 tiene altura fx2 f x 2 y llega llega al punto x 3 x 3 quien lo voy a poner con el color rojo este x 3 está entonces vamos a seguir haciendo eso vamos a seguir poniendo más y más rectángulos hasta que lleguemos a ver a quien ven necesitamos el enésimo rectángulo este rectángulo lo voy a pintar con este color rosa para entonces nos quedaría más o menos algo de de este estilo llegaría hasta la función evaluada en este extremo izquierdo o sea hasta aquí y sería el enésimo el enésimo rectángulo cuál sería su punto inicial pues vamos a ver cómo nos quedan las cosas el rectángulo 1 empiezan en x 0 y termine en x 1 el rectángulo 2 empieza en x 1 y terminen x 2 o sea los rectángulos siempre empiezan en x y el subíndice es uno menos que el número del rectángulo así que aquí nos quedaría x n -1 y para que todo quede bonito a ver le voy a llamar x en ba bueno ahí están los n rectángulos vamos ahora a su largo vamos a pensar que otra vez el largo de todos estos es igual digo hay otras formas de hacer la aproximación en los cuales podemos pensar que el largo es diferente pero ahorita vamos a pensar que todos tienen el mismo largo de esta forma si le llamamos delta x delta x al largo de cada uno de los rectángulos pues delta x se calcula midiendo toda la distancia que sería venosa y dividiendo entre m porque queríamos en largos iguales ok observa ya teniendo delta x igual a esto podemos poner que a es igual a x 0 que x 1 es igual a x 0 delta x que x2 es igual a x1 más delta x simplemente de x1 avanzamos el largo y así sucesivamente hasta b b que es x cn pero que también lo podemos pensar como x n uno más de elda x muy bien con todo esto ya tenemos la anotación y las convenciones necesarias para calcular nuestra aproximación como le haríamos para calcular esta área esta área aproximada aproximada pues nada más hay que sumar el área del rectángulo 1 lo voy a poner aquí que este es el rectángulo 1 a eso tenemos que sumar el área del rectángulo 2 este es el rectángulo 2 después el área del rectángulo 3 el rectángulo 3 va a poner así y así sucesivamente hasta el último rectángulo y hasta el área del rectángulo del rectángulo en rectángulo n cómo hacemos para calcular el área de un rectángulo pues simplemente hay que multiplicar su altura por su base el primer rectángulo su altura es f efe pero en vez de ponerle a le voy a poner x0 para que los demás me queden parecidos entonces ese f x 0 por el largo el largo es delta x vamos al rectángulo 2 ahora tiene altura f de x 1 verdad efe de x 1 entonces aquí nos quedaría efe x 1 por delta x con el rectángulo 3 pasa algo similar sería fx 2 está a su altura por delta x por delta de x el delta x es el mismo de siempre que es venenosa entre n y así hasta que llegamos al enésimo el enésimo su altura sería fx n 1 y su largo es delta x muy bien con esto terminamos esto nos da una aproximación nos da una aproximación para el área por debajo de la gráfica de la función igual a fx sin embargo sin embargo para acostumbrarnos a la anotación que se utiliza usualmente vamos a cambiar esto a la notación sigma la notación sigma se usa mucho en las aproximaciones de rectángulos pero en general cuando uno quiere hacer suma entonces lo que tenemos que poner es esta letra sigma es una sigma la griega y vamos a sumar desde igual a 1 hasta en la expresión efe de x y menos 1 x delta x esta expresión de aquí esta anotación matemática ya abrevia todo esto de aquí arriba y nos indica la aproximación para el área que queremos y cómo le hacemos para leer esta anotación pues dice lo siguiente vamos a tener varios humanos y cada sumando está dado de la forma f x y menos 1 por delta x entonces él y decimos sumando lo que hace es calcular calcular el área del décimo rectángulo chips aún así para el décimo sumando para el décimo sumando tenemos fx y menos 1 la altura por delta x el largo entonces tenemos el área del décimo rectángulo y estos símbolos indican que hay que sumar desde el primer rectángulo hasta el enésimo rectángulo muy bien en realidad no estamos haciendo nada muy diferente a lo que hicimos acá arriba verdad acá teníamos una función concreta cuatro rectángulos que iba de 1 a 3 y acá abajo acá abajo lo estamos generalizando para una cantidad arbitraria de rectángulos una función arbitraria en un intervalo arbitrario y además lo estamos poniendo en una anotación un poco más matemática
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