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Transcripción del video

ya hicimos varios videos en los cuales aproximábamos el área por debajo de la gráfica de una función utilizando rectángulos este dibujo viene del primer ejemplo que vimos en el cual todos los rectángulos tenían el mismo largo que era delta xy vimos que era de menos a entre n y la altura estaba dada por la función evaluada en el extremo izquierdo a partir de ahí obteníamos en notación sigma esta expresión de acá que justo el fx y menos 1 indicaba la altura y el delta x indicaba el largo por lo tanto esto esto era una suma de áreas que aproximaba el área por debajo de la curva después platicamos que podíamos cambiar la altura podíamos evaluar la función en el extremo derecho o en el punto medio y también jugamos un poco con trapecios pero resulta que todas estas cosas que hicimos son un caso particular de algo que se conoce como sumas de rima voy a poner aquí sumas de rima y las sumas de rimas son una noción más general en la cual pues incluso podemos cambiar a otras figuras geométricas o también podemos pensar en que las longitudes de cada una de esas figuras ya es distinta al principio nosotros la hicimos con la misma longitud para que todo quedara pues conceptualmente más sencillo pero bueno mira acá tenemos una imagen de bernat rima él fue un matemático muy famoso y colaboró con muchas contribuciones pero cuando estamos en la clase de cálculo se le conoce más por su concepto de sumas de riman ya que a partir de él se obtiene la integral de riman si antes newton y leibniz pues ya habían pensado en cosas acerca de integrar pero riman llega habla de su madre riman y pues su definición se convierte digamos en la definición más típica bueno vamos a pensar que qué es esto de la integral de riman y para eso imaginemos qué sucede si n es muy grande tiene es muy muy grande entonces tenemos una mejor aproximación del área del área que queda por debajo de la gráfica de esta función entonces lo que dice riman es mira o sea sí sí mientras mayor sea line tienes una mejor aproximación entonces a esta expresión sácale su límite su límite límite de cuando n tiende a infinito entonces vamos a obtener el límite de cuando n tiende a infinito como se vería esto oa qué se refiere riman déjame hacer aquí una una gráfica más o menos rápida ahí tenemos el eje x por acá el eje y para y tenemos una función sin voy a pintar un poco más bonita a esta ahí tenemos una función y queremos determinar el área debajo de esta gráfica entre a y b entonces si n es muy muy grande lo que sucede es que aquí vamos a tener muchos muchos rectángulos la cosa que van a aproximar bien bien la integral de modo que si tomamos el límite de cuando n tiene infinitos de estas aproximaciones pues vamos a tener el área por debajo de la gráfica de la función ba ok entonces a esta expresión a este límite riman lo reescribe lo re escribe así como la integral la integral déjame poner un poco más bonito mi signo de integral ahí está como la integral de a a b de fx de x y vamos a pensar tantito pensé en que se parecen estas dos notaciones cómo se conectan a que hay una f ya que hay una f eso está muy bien pero mira que hay un delta equis y que era ese delta equis pues ese delta x venía de la longitud verdad del largo de cada uno de los rectángulos esto era delta x esto era delta x todos estos eran delta x entonces podemos pensar en de x como lo que le sucede a delta x cuando n se va a infinito o sea que estos se hacen así super super flacos rectángulos muy muy flacos entonces siendo un poquito informales pero para darnos una idea este de x podemos pensarlo como un como un delta x infinitamente pequeño lo voy a poner así entre comillas para para decir que es un poco informal entonces ni finita mente mitad mente pequeña muy bien entonces podemos pensarlo podemos pensarlo de esta manera va entonces tenemos la f tenemos el el dx que es un delta equis infinitamente pequeño y aquí hay una sigma pero aquí está este símbolo que básicamente lo que nos está diciendo es que hagamos una suma infinita de una infinidad de rectángulos que están entre a y b bueno lo vamos a dejar aquí para que pienses tantito en cómo están conectadas estas dos notaciones y para que pienses tantito en esta definición y claro otra vez recuerda esta expresión esta suma vino de tus de una forma muy particular de realizar la aproximación utilizando el lado izquierdo para sacar las alturas pero hay más son más de riman también lo pudimos haber hecho con el lado derecho con el punto medio o con longitudes distintas bah pero la idea principal es que si tomamos el límite de cuando le tiene infinito de algunas de las sumas de riman entonces obtenemos esta definición de integral de rima todavía no hemos platicado como evaluarla cómo obtener un numerito pero vamos a ver eso en los siguientes vídeos
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