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Encontrar la derivada con el teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada de la integral definida de 𝘢 a 𝘹 de ƒ(𝑡)𝘥𝑡 es ƒ(𝘹), siempre que ƒ sea continua. Ve cómo esto puede utilizarse para evaluar la derivada de funciones de acumulación. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

digamos que tenemos la función gdx igual a la integral definida desde 19 hasta x de la raíz cúbica de t dt y tenemos curiosidad de encontrar que prima de 27 a que es igual pausa el vídeo y trata de pensar en la respuesta pero antes te daré una pequeña pista piensa en el segundo teorema fundamental del cálculo muy bien vamos a trabajar juntos si queremos encontrar que prima de 27 primero podemos intentar encontrar g prima y después evaluarla en 27 y la mejor forma en la que podemos hacerlo es realizar la derivada de ambos lados de esta ecuación así que vamos a realizar la derivada de ambos lados de la ecuación del lado izquierdo vamos a realizar la derivada de gtx con respecto a x y del lado derecho vamos a realizar la derivada de todo esto con respecto a x del lado izquierdo tenemos algo bastante directo la derivada deje de x con respecto a x es que prima de x y ahora cuál es la derivada del lado derecho bueno aquí es donde el segundo teorema fundamental del cálculo es útil vamos a escribirlo el segundo teorema fundamental del cálculo nos dice que es la función f mayúscula de x es igual a la integral definida de una constante x de la función efe minúscula de té de té y nuestra función efe minúscula de x es continua en el intervalo de x y lo escribiremos así si es continua en el intervalo cerrado de aa x entonces la derivada de f mayúscula de x es decir f mayúscula prima de x va a ser igual a nuestra función interna efe minúscula evaluada en x en lugar de de es decir efe minúscula de x sé que cuando viste esto por primera vez pensaste que podría ser algo críptico que no podría usarse con demasiada frecuencia pero veremos que en realidad es muy útil y algunos de ustedes ya saben que hay múltiples formas de pensar una integral definida como ésta o lo aprenderán en el futuro sin embargo con esta forma se puede simplificar demasiado en especial cuando tienes una integral definida peliaguda como esta entonces esto nos dice que observa cuando realizamos la derivada con respecto a x de todo esto primero tenemos que revisar que nuestra función interna que es análoga a nuestra función efe minúscula por acá sea continua en el intervalo cerrado de 19 a x pero sin importar el valor de x esta función va a ser continua en este intervalo porque ésta es una función continua para cualquier x así que cumplimos con nuestra primera condición o nuestra condición más importante y entonces podemos decir que la derivada de todo esto va a ser nuestra función interna reemplazando a t con x por lo tanto obtenemos la raíz cúbica y en lugar de poner a t pondremos a x la raíz cúbica de x y por lo tanto podemos regresar a nuestra pregunta original a que equivale g prima de 27 bueno equivale a la raíz cúbica de 27 qué es y hemos acabado