Si estás viendo este mensaje, significa que estamos teniendo problemas para cargar materiales externos en nuestro sitio.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenido principal

Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación

Podemos aplicar "razonamiento con base en cálculo" para justificar propiedades de la antiderivada de una función usando nuestro conocimiento de la función original.
En el cálculo diferencial, razonamos sobre las propiedades de una función f basados en información dada sobre su derivada f. En cálculo integral, en vez de hablar de funciones y sus derivadas, hablaremos de funciones y sus antiderivadas.

Razonar sobre g a partir de la gráfica de g=f

Esta es la gráfica de la función f.
Sea g(x)=0xf(t)dt. Definida de esta forma, g es una antiderivada de f. En cálculo diferencial, escribiríamos esto como g=f. Como f es la derivada de g, podemos razonar sobre las propiedades de g de la misma manera que lo hicimos en cálculo diferencial.
Por ejemplo, f es positiva en el intervalo [0,10], por lo que g debe ser creciente en este intervalo.
Más aún, f cambia su signo en x=10, por lo que g debe tener un extremo ahí. Como f va de positiva a negativa, ese punto debe ser un punto máximo.
Los ejemplos anteriores nos mostraron cómo podemos razonar sobre los intervalos donde g crece o decrece y sobre sus extremos relativos. También podemos razonar sobre la concavidad de g. Como f es creciente en el intervalo [2,5], sabemos que g es cóncava hacia arriba en ese intervalo, y como f es decreciente en el intervalo [5,13], sabemos que g es cóncava hacia abajo en ese intervalo. g cambia de concavidad en x=5, por lo que tiene un punto de inflexión ahí.
Problema 1
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g es cóncava hacia arriba en el intervalo (5,10)?
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g tiene un mínimo local en x=8?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Es importante no confundir qué propiedades de la función se relacionan con cuáles propiedades de su antiderivada. Muchos estudiantes se confunden y cometen toda clase de inferencias equivocadas, como decir que una antiderivada es positiva porque la función es creciente (de hecho, es al revés).
Esta tabla suma todas las relaciones entre las propiedades de una función y su antiderivada.
Cuando la función f es......la antiderivada g=axf(t)dt es...
Positiva +Creciente
Negativa Decreciente
Creciente Cóncava hacia arriba
Decreciente Cóncava hacia abajo
Cambia de signo / cruza el eje xPunto extremo
Punto extremoPunto de inflexión
Problema de desafío
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g es positiva en el intervalo [7,12]?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.