Regla de la potencia inversa

qué es lo que pasaba cuando tomábamos la derivada con respecto a x la siguiente expresión x elevado a la n 1 entre n 1 + una constante bueno y claro estoy hablando cuando n es distinto de menos 1 entonces lo voy a poner aquí en es distinto de menos 1 porque si fuera menos 1 aquí tendremos menos uno más uno que es cero y eso sería indefinido no podemos dividir entre cero y bueno para resolver este enigma voy a recordar la regla de la potencia de la derivada que decía toma a la potencia y baja la multiplicando a la equis entonces me va a quedar la potencia que es n 1 que a su vez esto multiplica la equis y después a la potencia o no este no es el mismo color de hecho es [ __ ] el mismo color es la parte más pesada de todo esto aquí está entonces a n1 lo multiplicamos por equis y después le bajamos 1 la potencia en uno menos uno me da n y todo esto queda dividido entre n más uno que teníamos aquí abajo y después tenemos la derivada de una constante pero cómo antes no cambia cuando cambia x la constante es constante entonces su derivada era 0 y ahora si n 1 / n 1 son dos cosas iguales y por lo tanto se cancelan y me da de resultado 1 entonces este y éste me dan 1 y en resumidas cuentas si em es distinto de menos 1 toda esta derivada me da x a la n la derivada de esta expresión me da como resultado simplificado x la n iv bueno una vez que ya tenemos esto entonces quien es la anti derivada déjenme ponerlo con otro color para que sea más visible la anti derivada de x elevado a la n diferencial de x y recuerden que esta anotación es la anotación para la anti derivada va a tomar más sentido cuando veamos integrales definidas pero ahora sí cuál va a ser la función que al derivar la me va a dar x la n iv recuerden que esto tomaba el nombre de integral indefinida o dicho en palabras coloquiales cuál es la función que al derivar la me va a dar x a la n iv pues lógicamente me vas a decir qué esto que tenemos aquí arriba x elevado en la n 1 entre n más uno más una constante y esta constante puede ser cualquier número puede ser 123 pi un millón por lo tanto esta constante puede ser lo que tú quieras y me quedaría de resultado x elevado a la n-1 entre ende más uno más una constante y aquí ya tenemos la integral visto como la operación contraria a la regla de la potencia de la derivada y ojo hay que recordar que el cne tienen que ser distinto de menos 1 porque si fuera menos 1 pues esta expresión no estuviera definida recuerden que no podemos dividir entre 0 por eso hay que especificar que n tiene que ser distinto menos 1 y bueno pues vamos a estrenar esta nueva fórmula que acabamos de obtener es decir vamos hacer algunos problemas que tengan que ver con la anti derivada de la regla de la potencia para la derivada y el primer ejercicio que me voy a tomar es este de verde que dice la integral de 5x de x y bueno lo único que hay que hacer es darnos cuenta que n en este caso vale 5 en es la potencia de la equis y por lo tanto hay que incrementarla en 1 51 y dividirlo entre ese mismo número entre 5 + 1 por lo tanto es x elevado a las 5 más 1 entre 51 más una constante de integración recuerden que esta constante puede ser cualquier número y bueno pues esto es lo mismo que xe a los 6 entre 6 más la constante de integración y ya están obtuvimos el resultado del primer ejercicio de este tipo de integrales y ustedes pueden derivar x las 6 entre 6 más una constante y van a ver que van a obtener x las 5 ahora otro ejercicio que parezca ser un poco más difícil tengo la integral de 5 por equis elevado a la menos 2 diferencial de x y bueno lo primero que voy a hacer es sacar la constante yo sé que esto no lo ha probado rigurosamente sin embargo en la derivada pasaba lo mismo las constantes las podíamos sacar afuera de la derivada y pues en la integral también pasa lo mismo la constante va a salir y me queda cinco veces la integral de x elevado a la menos 2 diferencial de x 5 que multiplica a la integral de x elevado a la menos 2 x y ahora voy a utilizar esta fórmula que estamos usando es decir 5 veces de la expresión x elevada a la menos 2 hay que sumarle 1 el exponente es decir menos 2 más 1 y dividirlo entre menos 2 más 1 y sumarle la constante de integración más una constante de integración y ahora vamos a simplificarlo me queda 5 que multiplica a x a la menos dos más uno que es menos uno debo dos y pagó unos chivos debiendo uno entre menos dos más uno que es menos uno más la constante de integración y esto es igual a cinco veces que multiplica a menos x elevada menos uno más la constante integración lo único que hice fue dividido entre menos uno y esto es lo mismo distribuyendo el 5 que menos 5 por x la menos 15 veces una constante y aquí ojo 5 veces una constante arbitraria pues es exactamente lo mismo que otra constante por lo tanto voy a borrar este 5cm es más podemos ponerle 15 1 c 1 c uno ya está constante que es cinco veces uno llamarla se al final es otra constante arbitraria y aquí lo tienen la respuesta es menos 5 que multiplica a x elevado al menos uno más una constante hemos acabado y te invito a que tú dérives esta expresión para que obtengas el resultado 5 que multiplica a x elevado a la menos 2