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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)

Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 6

Lección 11: Integración por sustitución
Matemáticas
Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Integración y acumulación de cambio
Integración por sustitución
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Método de cambio de variable con integrales definidas

Google Classroom
Hacer un cambio de variable para integrales definidas es muy similar a hacerlo con integrales indefinidas, pero con un paso adicional: tomar en cuenta los límites de integración. Veamos a qué nos referimos encontrando integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Observamos que start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab es la derivada de start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, por lo que podemos aplicar un cambio de variable. Sea start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54. Entonces, start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Ahora, sustituimos:
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
¡Espera un momento! Los límites de integración están dados para x, no para u. Piensa en esto gráficamente. Queremos el área bajo la curva start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd entre x, equals, 1 y x, equals, 2.
Se grafica la función y = 2 x paréntesis izquierdo x cuadrada + 1 paréntesis derecho al cubo. El eje x va de 0 a 3. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia arriba, se aleja del eje x y va en dirección de (2, 500). La región entre la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 2, está sombreada.
Ahora que cambiamos la curva a start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, ¿por qué deberían permanecer igual los límites?
Se grafican juntas las funciones y = 2 x paréntesis izquierdo x cuadrada + 1 paréntesis derecho al cubo y y = u cúbica. La gráfica de y = u cúbica empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia arriba, se aleja del eje x y termina en aproximadamente (3, 27).
Tanto start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd como start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff están graficadas. Puedes observar que las áreas bajo las curvas entre x, equals, 1 y x, equals, 2 (o u, equals, 1 y u, equals, 2) son muy diferentes en tamaño.
Ciertamente, los límites no deben permanecer iguales. Para encontrar los nuevos límites, debemos encontrar cuáles valores de start color #1fab54, u, end color #1fab54 corresponden a start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 para x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c y x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
  • Límite inferior: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
  • Límite superior: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Ahora podemos hacer correctamente el cambio de variable:
integral, start subscript, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end superscript, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, end superscript, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Se grafican juntas las funciones y = 2 x paréntesis izquierdo x cuadrada + 1 paréntesis derecho al cubo y y = u cúbica. El eje x va de menos 1 a 6. Cada gráfica se mueve hacia arriba y se aleja del eje x. La primera función termina en (2, 500). La región entre la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 2, está sombreada. La segunda función termina en aproximadamente (6, 210). La región entre la curva y el eje x, entre x = 1 y x = 5, está sombreada. Las 2 regiones parecen tener un tamaño similar.
start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff se grafica con el área entre u, equals, 2 y u, equals, 5. Ahora podemos ver que las áreas sombreadas parecen ser del mismo tamaño (de hecho lo son, pero es difícil decirlo solo de vista).
A partir de aquí, podemos resolver todo con respecto a u:
∫25u3 du=[u44]25=544−244=152.25\begin{aligned} \displaystyle\int_{2}^5 u^3\,du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_{2}^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{2^4}{4} \\\\ &=152.25 \end{aligned}
Recuerda: cuando usamos un cambio de variable en integrales definidas, siempre debemos tomar en cuenta los límites de integración.
Problema 1
Se le pidió a Ella encontrar integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x. Esta es su respuesta:
Paso 1: sea u, equals, x, squared, plus, x
Paso 2: d, u, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, d, x
Paso 3:
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, u, cubed, d, u
Paso 4:
∫15u3du=[u44]15=544−144=156\begin{aligned} \displaystyle\int_1^5 u^3du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{1^4}{4} \\\\ &=156 \end{aligned}
¿Es correcto el trabajo de Ella? Si no es así, ¿dónde está su error?
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Problema 2
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, 15, x, squared, left parenthesis, x, cubed, minus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, d, x, equals, question mark
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