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Método de cambio de variable: integral definida de una función exponencial

Transcripción del video

hola cómo estás bueno pues esta vez quiero resolver está integral tengo una integral definida en la integral definida de 0 a 1 ok de la siguiente función x cuadrada ok que multiplica a 2 elevado a la x cúbica ok esto x de x y esto es lo que quiero resolver y bueno como siempre te voy a pedir que pases el vídeo e intentes resolverla por ti mismo muy bien una vez que ya estoy suponiendo que pausa este el vídeo es hora de empezar a trabajar y bueno hay varias cosas que me vienen luego luego a la mente la primera que me viene es nosotros sabemos cómo resolver integrales y derivadas de en la función exponencial es decir nosotros sabemos que la derivada con respecto a x de ea la x ok bueno pues sabemos que esto es lo mismo que a a la x ok o dicho de otra manera la integral de a a la x de x nosotros sabemos que esto es lo mismo que a la x ok más una constante de integración pero si te das cuenta aquí no tenemos de la función exponencial tenemos algo que está elevado a una función de x es decir tenemos otra base y lo primero que se me ocurre es que tal vez podemos escribir esta otra base es decir al 2 visto de alguna manera para que tú lo puedes escribir como una función exponencial y como hacemos eso bueno pues la forma de escribe y esto se me ocurre exponer al 2 en términos de cómo hacemos eso bueno pues que podemos decir que todos dos es exactamente igual que el ya que potencia tenemos que elevar el valor de él para que nos dé dos bueno pues la potencia la que tenemos que elevar para que nos dé el valor de 2 es el logaritmo natural de 2 el logaritmo natural de 2 o dicho otra manera lo puedes pensar de esta forma cuando yo elevó en el logaritmo natural de 2 bueno pues mi respuesta es 2 recuerda que la función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas y si a esto mismo yo lo elevó a la x cúbica a la equis cúbica ok pues voy a elevar al x cúbica esta parte pero también esta parte ok estas dos cosas son iguales y entonces cuánto es el elevado al lugar y no natural de 2 elevado a la x cúbica bueno pues esto es exactamente lo mismo que tener en elevado a la equis ubican ok antes de ponerlo con este color a la x cúbica que multiplica al logaritmo natural de 2 al logaritmo natural de 2 esto por las leyes de los exponentes y es que date cuenta que estudia se empieza a ver bastante interesante esto es muy interesante porque si ahora en lugar de 2x cúbica pongo en elevado a la x cúbica por el logaritmo natural de 2 ya esto empieza a tomar forma ok pues vamos a reemplazarlo y para esto primero déjenme fijarme un poco en la integral indefinida y después calculamos sus límites de integración así que pensemos primero en esta integral indefinida ok de x cuadrada a 2 elevado a la x cúbica ok de x y bueno si nosotros reemplazamos el 2 por esto que tenemos aquí esto me va a quedar exactamente lo mismo que la integral lo voy a poner como por aquí es cuadrada ok y en lugar de 2 elevado a la equis cúbica voy a poner esto que tengo aquí porque llegamos a que es lo mismo ok así que déjame atraparlo lo voy a copiar lo voy a pegar ok y déjame ponerlo justo acá lado es más déjeme hacerle un poco más pequeño y lo voy a poner justo acá al lado de lujo ahora si a esto le ponemos al final un de equis ya tenemos la misma integral d y bueno seguramente tú me vas a decir es que está integral y está integral parecen igual de complicadas pero tal vez haya forma de resolver más fácil esta integral que esta integral porque si nosotros pensamos en esto y observamos fijamente lo que tenemos adentro de la integral podemos ver que tal vez podamos utilizar la sustitución 1 es decir que si yo me fijo en esta parte que tengo aquí arriba ok ya esto lo llamo un bueno pues date cuenta que su derivada va a ser a 3 veces x cuadrada por el logaritmo natural de 2 lo cual es una constante por x cuadrada y curiosamente aquí tenemos a x cuadrada por lo tanto aunque te parece si ahora llamo a esta parte de acá arriba 1 y que me va a quedar si digo 1 es igual a x cúbica ok por el logaritmo natural de 2 por el logaritmo natural de 2 pues quien es de uno de uno es lo mismo que la derivada de esto que tengo aquí lo cual es tres veces x cuadrada ok por el logaritmo natural de 2 x de x ok lo único que hice fue bajar el exponente y darme cuenta que el logaritmo natural de 2 es una constante por lo tanto la puedo poner aquí y no pasa nada y bueno esto es exactamente lo mismo si nosotros lo escribimos la siguiente manera que x cuadrada ok que multiplica a tres veces el logaritmo natural de 2 ok de equis y lo estoy escribiendo de esta manera porque ahora date cuenta que esta parte que tengo aquí a esto que tengo aquí lo puedo escribir como un único logaritmo es que esto es exactamente igual ok déjame ponerlo así esto es igual que x cuadrada ok que multiplica a logaritmo natural de 2 elevado al recuerda que por las propiedades de esos logaritmos cuando yo tengo algo multiplicando el logaritmo esto puede pasar como potencia ok de x de x 10 que lo estoy viendo de esta manera porque esto es exactamente lo mismo que tener x cuadrada que multiplica el logaritmo natural de 8 ok x de x y es mucho más fácil verlo así como una constante que multiplica a x cuadrada de x y entonces dónde está de un bueno pues ahora lo podemos poner con algunos colores fíjate bien nosotros tenemos de x aquí necesitamos una de x tenemos x cuadrada ok esta x cuadrada de aquí y lo único que nos hace falta es el lugar y no natural de 8 así que necesitamos esta parte de aquí pero lo bueno es que es una constante por lo tanto puedo poner aquí el logaritmo natural de 8 ok y dividir todo entre el logaritmo natural de 8 es decir estoy multiplicando por 1 y bueno es que esto nos va a servir porque si nosotros recordamos antes de poner que esto es exactamente igual recuerda que la anti derivada de una constante multiplica en una función esto es exactamente lo mismo que la constante multiplicando al anti derivada de esta función o dicho está manera esto es lo mismo que uno entre el logaritmo natural de 8 ok esto que multiplica a la integral ok de el logaritmo natural de 8 que multiplica a x cuadrada que multiplica a esta parte de aquí que multiplica a un elevado a la x cúbica déjame ponerlo con este color a la x cúbica ok por el logaritmo natural de 2 ok d y bueno es que estoy haciendo todo esto porque ahora date cuenta de lo siguiente ahora lo puede escribir todo en términos de un dicho otra manera date cuenta que aquí tenemos no nos vayamos a olvidar de este uno entre el logaritmo natural de 8 ok y de esto que nos va a quedar nos queda la integral la integral ok y bueno ahora tengo am y déjame ponerlo con este mismo color tengo el logaritmo natural de 8 que multiplica x cuadrada que multiplicada x pero esto es lo mismo que de 1 es decir a de un a de 1 que multiplica a m elevado a la x cúbica que multiplica al lugar y tmo natural de 2 pero esto es lo mismo que es decir el elevado a la 1 y ya está de lujo porque qué creés esta integral de aquí es muy fácil de resolver su anti derivada y de hecho lo sabemos esto es exactamente lo mismo que no olvidemos este de x 1 entre el logaritmo natural de 8 ok multiplica a la función exponencial a un elevado a la 1 ok más una constante su anti derivada es muy sencilla y bueno una constante porque estamos hablando de una integral indefinida de lujo porque ya con esto podemos regresar a la sustitución hacia atrás es decir esto es exactamente lo mismo ok que uno entre el logaritmo natural de 8 ok que multiplica a ha elevado a la 'u' pero nosotros sabemos que uno es x cúbica por el logaritmo natural de 2 elevado a la x cúbica por el lugar istmo natural de 2 ok más una constante del lujo pero ahora si queremos regresar a nuestro problema original que es justo este que tenemos aquí tenemos que hacer los límites de evaluación y para eso déjenme atrapar esta parte de aquí ok la voy a poner justo por acá ok vamos a regresar a nuestro problema original ok déjenme bajar un poco esta pantalla ok subamos un poco esta pantalla y bueno esto va a ser exactamente igual ok que y recordemos los límites de evaluación primero tengo am el límite de evaluación en 1 así que déjame ponerlo con este color y me va a quedar 1 entre el logaritmo natural de 8 ok que multiplica a el elevado a la 1 al cubo 1 al cubo es lo mismo que uno por el logaritmo natural de 2 elevado al logaritmo natural de 2 ok ya esto habrá que quitarle a esto habrá que quitarle ok la evaluación en 0 en 0 y me va a quedar 1 entre el logaritmo natural de 8 ok que multiplica a elevado y bueno 0 por lo que sea es 0 elevado a la cero y esto es porque las constantes recuerda que se eliminan y bueno que me queda de aquí lo que quiero que veas es que nosotros vimos de este color que 2 es lo mismo que he elevado al lugar y natural de 2 por lo tanto de aquí esta parte simple y sencillamente 2 y m elevado a la 0 bueno esto es exactamente lo mismo que uno por lo tanto aquí me queda 1 entonces mi respuesta quién va a ser esto va a ser exactamente igual que 2 que multiplica a 1 entre el logaritmo natural de 8 menos una vez que multiplica a 1 entre el logaritmo natural de 8 o de otra manera me va a quedar solamente 11 de ellos uno entre el logaritmo natural de 8 2 entre el lugar y la natural de 8 menos 1 entre logaritmo natural de 8 bueno es solamente uno entre el logaritmo natural de 8 y que crees ya hemos acabado esta es mi respuesta que tanto buscaba de este problema original es decir que está integral definida tiene como respuesta uno entre el logaritmo natural de 8 nos vemos en el siguiente vídeo
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