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Intuición para la segunda parte del teorema fundamental del cálculo

Transcripción del video

vamos a tomar una función s mayúscula de t que lo que va a denotar es la posición posición de un cierto objeto verdad pero en función en función del tiempo del tiempo tiempo entonces este es el tiempo aquí voy a pintar la gráfica de la función la voy a poner como una parábola pero no necesariamente tiene que ser así esto es nada más para darnos una mejor idea y lo primero en lo que quiero pensar es cómo sería el cambio en la posición de un momento a de un momento a otro momento ve va entonces aquí pongo el momento b y para hacer esto lo que tenemos que hacer es ver dónde estaba el objeto en el momento a osea fijarnos en esa idea porque esa idea es la posición al tiempo y luego vamos a ver a dónde llegó aquí llega a ese debe a ese debe y esa de ahí es la posición en el tiempo ve así para encontrar el cambio de a ave el cambio en posición tenemos que hacer la diferencia de estos dos valores hay que considerar a ese debe menos sda dejame escribir eso por aquí en algún lugar entonces el cambio el cambio en posición no imposición de a es el spp es ese debe sdb - s d s d a hasta ahorita no he hecho nada demasiado impresionante ahora vamos a estudiar la derivada para ver qué más podemos decir entonces la derivada de s como la pensamos pues la podemos pensar como la pendiente de en cada punto verdad por ejemplo en este punto la pendiente quedaría más o menos como algo así y la forma en la cual pensamos está pendiente de manera algebraica es que nos fijamos cuál es el cambio en la posición y eso lo dividimos entre el cambio en el tiempo y todo es así de manera infinitesimal aquí super chiquito entonces pues fijándonos en ese coeficiente nos quedaría el cambio de posición dividido entre el cambio de tiempo un cambio instantáneo bueno también existe la anotación con prima verdad entonces déjame escribirlo así lo voy a poner como que s prima de t y esto tiene la ventaja de indicarnos que también es una función del tiempo va en cada en cada momento tenemos un pues una derivada distinta pero ahorita como estamos hablando de la posición que sería este cambio instantáneo pues esto justo sería la velocidad la velocidad una velocidad en función del tiempo en función función del tiempo bien muy bien bueno como es algo importante como es una función que se llama velocidad pues vamos a ponerle nombre vamos a llamarle vedette y también vamos a hacer su gráfica va entonces aquí voy a pintar otros ejes fíjate que están alineados para que veamos cómo queda y vamos a graficar la velocidad al principio la pendiente 0 entonces empezamos en este punto de por acá pero luego la pendiente va creciendo si esto de adeveras es una parábola aquí va creciendo linealmente y llega digamos a este punto de por acá aquí la pendiente ya es muy alta así que la gráfica la gráfica de la velocidad se vería como una línea así déjamelo indicó esto de aquí es la gráfica de ye igual a bt y la de acá arriba es la gráfica de che igual a s mayúscula de té excelente ahora queremos ver cómo se relaciona pues esta función velocidad con el cambio en posición de a a b desde a hasta b entonces déjame marcar por aquí a aquí a la misma altura aquí está a ahora que esta vez y para pensar en este cambio en posición de aaa b lo que vamos a hacer es utilizar una suma de riman y recuerda las sumas de riman pues se involucran figuras geométricas ahorita lo vamos a hacer con rectángulos entonces voy a pintar aquí tres rectángulos a le voy a dibujar esta región en tres rectángulos ahorita los voy a poner un poco gruesos pero en realidad este puedes pensar que son muchísimos los que estoy poniendo así para tener más espacio para escribir entonces van a ser rectángulos con el mismo largo y suelto perdón y su altura va a estar dada por la función evaluada en el extremo izquierdo bueno entonces esto de acá que hace o sea si tomamos la suma de las áreas de estos rectángulos que que nos da pues pues por un lado sabemos que eso es la aproximación del área por debajo de la función pero vamos a ver si podemos decir que otra cosa la verdad realidad es una aproximación un poco burda pero vamos a ver como más o sea de que de qué otra forma se puede interpretar bueno vamos con el primer rectángulo que lo voy a pintar así de color naranja cuál sería el área de este primer rectángulo pues bueno su altura es es v esta es la función ve evalúa de nada entonces sería de de a y eso hay que multiplicarlo por la base que vamos a ponerle delta de t un pequeño cambio ente que es un cambio bueno que ese cambio es igual para todos los rectángulos pero esto qué quiere decir ya interpretándolo en posición y velocidad pues mira la velocidad le estamos multiplicando por un periodo de tiempo entonces esto sería una aproximación para el cambio de posición en este intervalo si la velocidad va cambiando pero aquí lo estamos haciendo con una velocidad fija entonces es nada más una aproximación de manera similar el segundo rectángulo pues ahora tiene altura bueno no sé muy bien creo que aquí es además más del tate pero el chiste es que el área de este segundo rectángulo una vez más nos va a dar una aproximación del cambio de posición en este intervalo y también pasa lo mismo con éste con el moralito va con el morado entonces vamos a poner todo esto en términos de la anotación de la anotación esta que estábamos usando la anotación sigma entonces en general en general estos rectángulos tienen área bueno área acumulada la suma desde y igual a 1 hasta n de aquí tengo que poner la función que en este caso es b b le voy a poner dt y menos 1 va o sea los valores los vamos cambiando acá x delta t ok entonces estoy acá es una aproximación pues por un lado para el área que queda por debajo de la gráfica de la función pero por lo que platicamos término a término esto de acá también es una aproximación para el cambio de la posición y para el cambio de la posición de la ave déjame escribirlo nada más antes aquí éste es del tate hay que acordarnos que voy a poner por acá dónde del tate este delta te lo podemos encontrar como ve - a entre 12 horas y regresando a lo que decía estoy acá es una aproximación para dos cosas es una aproximación voy a poner así aproximación número uno para el cambio de posición cambio de posición posición posición y número 2 para el área bajo la curva área bajo la entonces espero que con esto más o menos vayas agarrando una intuición de que por lo tanto el área por debajo de la curva de velocidad va a ser igual al cambio de posición ya nada más vamos mejorando y mejorando nuestras aproximaciones vamos a hacer eso como lo haríamos para obtener el valor exacto del área por debajo de esta curva pues lo que dice riman es que tomemos el límite y el límite de cuando n tiende a infinito de esta aproximación de acá si tomamos ese límite tenemos una infinidad de rectángulos y por lo tanto ahí sí tendríamos si tendríamos el área que queda por debajo de la curva eso sería igual sería igual a la integral de a a b d b dt de té de japonés hace un poco más bonita btt de té vale entonces ahora si esto de aquí ya nos da el área exacta por debajo de la curva pero igual nos da el cambio de posición exacto si estoy acá también es igual ya así déjame bajar un poquito esto es igual lo voy a poner con color pues con color amarillo estoy acá es el cambio de posición exacto cambio de posición exacto exacto de ave ya sabe pero mira este cambio de posición exacto de a ave lo habíamos calculado lo habíamos calculado acá arriba de otra forma como se debe - esa idea entonces esta integral es igual a esta integral es igual a ese bebé menos sda dejame lo escribo voy a poner así sdb menos sda esa idea y esta igualdad está súper interesante en damas déjame reescribir la porque es importante entonces lo que nos dice es que la integral la integral de a ave dvd dvd t de t es igual a s debe es mayúscula de b - sd a a esto está padrísimo va este resultado aunque ahorita está un poco esté oculto porque estoy usando velocidad y posiciones en el fondo es un resultado súper conocido y es el segundo teorema fundamental teorema fundamental del cálculo del cálculo a lo mejor te estás preguntando dónde está el primero si no hemos platicado de eso bueno ya lo dejaremos para después pero ahorita este resultado es súper útil para evaluar integrales definidas integrales en donde conocemos los extremos y por lo tanto para evaluar el área debajo de una curva va porque está tan padre ya nada más déjame reescribirlo así en general o sea porque imagínate que llegas y te piden encontrar la integral de a a b de una cierta función f dt para entonces nos piden encontrar esto de acá en el dibujito que sería en el dibujito sería tienes ahí los ejes tienes por acá la gráfica de la función f y lo que piden es encontrar el área por debajo de la gráfica que queda entre a y b entonces nos piden encontrar eso bueno pues lo que dice el segundo teorema fundamental del cálculo es que basta encontrar efe efe mayúscula 1 anti derivada andy derivada de f minúscula entonces tomamos f mayúscula una anti derivada de efe minúscula es lo que pasa acá arriba verdad acá arriba tenemos que s es mayúscula es anti derivada anti derivada dv entonces tomamos esa anti derivada de f y para evaluar la integral únicamente hay que evaluar esa anti derivada en el extremo superior y aquí sería en b ya eso tenemos que restar la anti derivada y evaluada en a esto está fantástico con esto podemos evaluar integrales definidas y por lo tanto podemos encontrar áreas por debajo de una curva bueno espero que le hayas agarrado la onda a este concepto es súper útil en los siguientes vídeos vamos a ver algunos ejemplos de cómo se aplica
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