Demostración del teorema fundamental del cálculo

supongamos que tenemos una función efe que es continua continua en el intervalo en a b déjame hacer un dibujo para que podamos visualizarla por aquí vamos a tener el eje de g de este lado tenemos el eje t le voy a poner t y no x porque la x la quiero utilizar después y la función se ve es más o menos aguas vale estar aquí es la función esta es igual a efe dt ft y como sabemos que es continua en la vez y por acá ponemos a y por acá ponemos b entonces la función es continua en este intervalo sale es continua en esta parte de acá ahora así nada más por pura diversión vamos a definir otra función que le vamos a poner f mayúscula de x y la vamos a definir como la integral de aa x de ft dt y esta va a ser una función para las equis que están en este mismo intervalo entonces lo voy a poner para x ese mismo intervalo en el a como ve muy bien entonces estoy acá para cada x nos da un número y digo puedes decir mira aquí tenemos una integral definida entonces seguro tiene que ver con anti derivar y con derivar pero espérate tantito eso de ahí todavía no lo sabemos lo hemos usado pero en realidad lo único que sabemos de esta expresión es que es un área esta es el área de a ax de x que está por debajo de la función bueno de la gráfica de la función de igual a etc entonces marcando la en el dibujo sería esta área de acá esta me la sale muy bien lo que quiero hacer en este vídeo es que realmente esto tiene que ver con derivar o bueno con ser una operación inversa a derivar vaya quiero más o menos dar ideas para la demostración del teorema fundamental del cálculo y para esto vamos a derivar esta función efe esta función efe pero lo vamos a hacer con la definición entonces qué vamos a hacer vamos a encontrar f prima de x y por definición esto de acá es igual al límite al límite de cuando delta x tiende a cero de f de x más delta x menos f de x y todo eso dividido dividido entre delta x esto es la definición de derivar muy bien ahora vamos a sustituir estas ejes mayúsculas por la expresión que les corresponde entonces esto nos quedaría igual igual al límite de cuando delta x tiende a cero de aquí tenemos que poner x + delta x osea la integral de a x + delta x de ft dt y luego hay que restar fx o sea esta expresión de acá la integral de x de ft ft de super paseo que luego tenemos que dividir entre belda x verdad entonces ahora vamos a interpretar estos estos términos pues acá en las áreas para ver qué nos dicen back aquí tenemos la integral de a x + delta x df de tdt entonces aquí llegamos hasta x + delta x así que déjame marcarlo por acá aquí en algún lugar tenemos x + delta x encima tantito la vez pero no las va entonces el área que representa este término de acá este término es el área que ahorita voy a asombrar en color verde en esta área esta área hasta acá verdad desde a hasta x 90 x muy bien entonces estoy acá es esa integral y este sumando este otro sumando el que va de x ya lo teníamos marcado verdad es esta región entonces al realizar la resta este es un área le estamos quitando otra área y el área que nos queda es esta área de aquí esta área que voy a pintar en color morado para indicar que viene de acá de la derivada y esa área la podemos expresar como la integral de x verdad ekis ekis ekis ekis + delta x de ft ft de este fantástico muy bien entonces esta expresión la podemos cambiar por esta de acá así que vamos a reescribir f prima de x así la vamos a reescribir como uno entre delta x por el numerador que es éste acá entonces nos quedaría por la integral de x a x + delta x df de t de t ok entonces mira ahora tenemos esta expresión interesante pero esta expresión suele aparecer cuando hacemos cosas del estilo teorema de valor medio para integrales definidas y para acordarnos déjame escribirlo por acá problema de valor medio para integrales definidas definidas y dice lo siguiente dice que si tenemos una cierta integral en un intervalo entonces existe un punto c en ese intervalo entonces le voy a poner aquí existe ce existe ce en el intervalo x coma x + delta x + delta x tal que si tomamos ese s es más déjame pintarlo voy a ponerlo por acá queda entre los dos valores entonces este de acá efe pero tal que si tomamos este valor y nos fijamos cuánto vale la función ahí aquí tiene cierta altura fcc de verdad fcc y eso esa altura esta altura de acá la multiplicamos por la longitud del intervalo en el cual estamos integrando aquí la longitud sería delta x verdad porque es x + delta x - x nos queda delta x entonces al multiplicar frc por esa longitud del intervalo obtenemos la integral déjame escribirlo entonces existe un ace en ese intervalo tal que que delta x por fcc por frc es igual a la integral de xx más delta x x más delta x df de t dt déjame bajar tantito o bien dividiendo entre dividiendo entre delta x obtenemos que fcc es igual a 1 entre delta x por la integral de x a x + delta delta x ft de t ok esto está súper bueno básicamente lo que nos dice es que este valor se es como un valor medio verdad es un valor promediado estamos sumando todos los valores y dividimos entre la longitud del del intervalo o bien otra forma de pensar los en términos de áreas que si esa altura promedio la multiplicamos por la longitud del intervalo entonces vamos a obtener exactamente el área que está por debajo de la curva bueno entonces vamos a utilizar esto para seguir con nuestra derivada entonces déjame seguir de este lado del lado izquierdo entonces lo voy a poner así entonces efe prima de x f prima de x es igual al límite aquí me falta un límite verdad este límite debía dejado poner aquí igual al límite de cuando delta de x tiende a cero límite límite límite f prima de x es igual al límite de cuando delta x tiende a cero de acero de fcc porque mira es esta expresión que aquí la tenemos pero eso simplemente ofrece efe de c entonces tenemos esta expresión de acá como lo podemos hacer para pensarla ya casi terminamos ya estamos nada más en el último jalón mira pensemos lo tantito intuitivamente que sucede con ce a pues se queda encerrado entre equis y equis más delta equis y aquí estamos tomando el límite cuando delta x tiende a cero o sea cuando estamos encerrando lo tanto tanto que queda cerquita de equis entonces pues más o menos acá intuitivamente intuitivamente se tiende a equis no voy a poner así en color amarillo entonces se tiende a x cuando cuando delta x delta x tiende a 0 y como f es una función continua si se se acerca x entonces fcc se acerca a fx la fx cuando cuando delta de x delta de x tiende a cero entonces pues a esta verdad porque básicamente lo que estoy diciendo es que si delta x tiende a cero fcc fcc es igual cuando el límite de cuando delta que tiende a cero de fcc es igual a efe de x se se va x fcc se va a fx entonces aquí nos queda fx2 pero ahorita me has de estar diciendo oye no opera este tantito este es el vídeo de la prueba del teorema fundamental del cálculo no estoy muy conforme con que nada más me des la idea intuitiva y que pues vayas al diagrama y me digas mira se están acercando acá y se acercan acá ya no mejor hay que dar algo un poco más formal ok entonces vamos a probarlo un poco más formalmente y para eso vamos a utilizar el teorema del sándwich para el teorema del sándwich es lo que nos dice pues para acordarnos es lo siguiente tenemos una cierta desigualdad en este caso tendríamos tendríamos que lo va a poner con color con color azul tendríamos qué x es menor o igual a c que es menor o igual a x más delta x y entonces si este lado se iba a un cierto límite y este lado también lleva a otro límite entonces lo de medio también pero para esto necesitamos que lo del medio está en función de una variable pero fíjate esta c en realidad está en función de delta x la podemos pensar como una función de delta x porque si vamos variando la delta x pues va cambiando el punto c que es el valor medio entonces vamos a pensarla como una función de delta equis y aquí vamos a ver qué sucede con el límite de las expresiones de los extremos cuando delta x se va a cero entonces qué pasa con el límite de x cuando delta x delta x tiende a cero xx no depende desde el está x verdad x está aquí fijo entonces estoy acá simplemente es x y de este lado que sucede que pasa con con el límite con el límite de cuando vuelta bueno el límite de cuando vuelta x tiende a 0 de x más resta x está pues desde aquí se va a 0 entonces simplemente nos quede igual a x pues ahí está mira cuando delta x se va a 0 esto se va x esto se va x y entonces por el teorema del sándwich la expresión de enmedio está de acá también se va a x de esta forma el límite de cuando delta x se va a hacer o de c de delta x es igual a x entonces con esta obra sí ya podemos terminar o sea esta expresión esta c ahora sí ya tenemos un argumento para decir que se va a x entonces se tiende a x pero luego la función es continua entonces fcc tiende a fx esto nada más es una forma un poco más formal pero un poco más rigurosa de probar esto que ya habíamos dicho antes básicamente que se se va xy que fcc se va a fx muy bien hasta aquí tenemos nuestra prueba tú estás súper padre vamos a discutir un poquito qué nos dice mira está muy bueno nos dice que si tenemos una función continua la que nosotros queramos en un intervalo coma b y definimos esta f mayúscula de esta forma como una integral entonces tenemos lo voy a escribir por acá abajo por reescribir básicamente tenemos que f prima de x la derivada de esa función que definimos es igual a efe de x es este límite que encontramos con la definición y pues porque para porque esto está padrísimo o sea porque esto es muy relevante pues está muy padre porque eso de que a la fecha quita y le asignamos la grandota se puede hacer para cualquier función continua y entonces para cualquier función continua le asignamos una deja mayúscula efe mayúscula que se puede derivar para obtener la f original vaya está diciendo que para cualquier función continua siempre existe una anti derivada y eso está bien padre por sí mismo pero lo que está todavía más padre es que este teorema fundamental del cálculo nos ayuda a unir dos áreas super importantes del cálculo derivar e integrar si nos está diciendo que estas dos grandes ramas del cálculo básicamente todo el cálculo verdad están súper relacionadas entonces qué pasa esta cosa que inicialmente era un área la f mayúscula la f mayúscula ahora sí la estamos pensando pues como como una cosa que es la operación inversa de derivar si sacamos el área y luego derivamos regresamos al original eso está muy bueno entonces este teorema fundamental nos da una relación derivar entre derivar quiere sacar un área que perdón que sacar una cierta pendiente e integrar e integrar entonces por eso es el teorema fundamental del cálculo y claro o sea o sea lo hemos estado usando en más o menos de manera intuitiva no lo habíamos probado para nosotros pues la integral hasta ahora nada más había sido un área que habíamos definido como una área pero gracias a esto que acabamos de demostrar ahora sí estamos segurísimos de que integrar y derivar están súper conectados