Funciones continuas en todos los números reales

cuáles de las siguientes funciones son continuas para todos los números reales así que primero qué te parece si recordamos que es una función continua y para eso voy a dibujar por acá a mis ejes supongamos que este es mi game y por acá tengo a mi eje x ok y vamos a poner sus nombres este es mi eje que este de por aquí es mi eje x ok y una función va a ser continua durante un intervalo si no tiene saltos o discontinuidades o huecos sobre dicho intervalo así que si está conectada o la podemos dibujar sin despegar el lápiz por ejemplo esta de aquí esta sería una función continua entonces observa que no tiene ningún hueco está conectada durante todo el intervalo en donde buscábamos continuidad ahora si te preguntas en algún ejemplo de una función que sea discontinua en algún intervalo o alguna función no continua bueno podríamos tener alguna función que tenga un hueco o una discontinuidad de algún tipo podremos tener por ejemplo una discontinuidad asintótica que se viera más o menos esta tendría un tipo de discontinuidad asintótica pero no es mi único tipo de discontinuidad también podríamos tener alguna discontinuidad donde hagamos algún salto en él por ejemplo aquí tenemos una función que va bien feliz por aquí y de repente salta y vuelve a aparecer por acá y continúa o se me ocurre una función que solamente tenga un hueco en algún lado por ejemplo una función que vaya aquí tengo un hueco y después continúe tan campante por la vida o tal vez tenga un hueco pero sea una discontinuidad extraíble es decir que la función esté definida en otro valor así que todas estas son gráficas de funciones discontinuas ahora si quieres una interpretación más matemática de todo esto podemos decir que una función f es continua en un cierto valor supongamos en a si sólo se observa si sólo si se representa como una línea con dos flechas sí sólo si el límite límite cuando x tiende a am de fx efe de x esto es exactamente igual a efe de a esta es nuestra definición más matemática y observa una vez que quieras pedirle a esta función que sea continua en f tienes que estar definida en f y ahora cuando vemos estas opciones lo primero que veo es que gtx esta función no está definida para todos los números reales porque lo que buscamos es una función que esté definida para todos los números reales y gtx no está definida para valores negativos así que no puedo cancelar esta no es nuestra opción correcta y ahora pensemos en fx fx igual a la equis y bueno esta si está definida para todos los números reales porque como veremos la mayoría de las funciones comunes que hemos aprendido en matemáticas no tienen huecos ni saltos ni discontinuidades algunas la tienen como la función 1 / x o funciones similares pero las funciones como la x en definitiva no tienen ninguna discontinuidad podríamos graficar aquí a fx igual a la equis y se vería más o menos así es una función que está definida para todos los números reales y en definitiva no tiene saltos ni huecos ni nada así así que la respuesta correcta es solo efe y ya sé que no hice una prueba muy rigurosa ustedes podrían hacerla si gustan pero el motivo de este ejercicio es realmente obtener un sentido intuitivo de cómo se puede ver esta función a la equis y ver que en definitiva está definida para todos los números reales ya que observa no tiene saltos ni huecos y así es más que razonable decir que es una función continua pero si gustan podrían ser también una prueba más rigurosa