Estudiar límites no acotados: función mixta

nos dicen sea fx igual a equis estoy dividido entre 1 - el consell de x2 y nos piden elegir la opción correcta para los límites unilaterales de f en x igualados ahora lo primero que quiero que veas es que es lo que pasa si nosotros evaluamos la función en x igualados si hacemos eso efe de 2 me va a quedar como 2 entre 1 - el coseno de 2 - 2 ahora el coseno de 2 - 2 es lo mismo que el coste no de 0 pero uno menos 10 así que me quedaría 2 entre 0 y puedes ver que esta función no está definida en x igualados y es por eso que sería bastante interesante encontrar el límite en cuanto x aproximados y en especial los límites unilaterales bien intentemos aproximarnos a esto y hay un par de maneras en la que podrían hacerlo una de ellas es que podrían hacer esto sin calculadora con solo examinar lo que sucede aquí pensando en las propiedades de la función coseno y si esto te inspiran pausa e intentar resolverlo yo lo voy a trabajar de esta manera hasta el final del vídeo ahora bien la otra manera es que si tienes calculadora puedes hacer una tabla como hemos hecho en otros problemas de ejemplo en otros vídeos y así pensar qué es lo que va a pasar con x cuando se aproxima a 2 este premio pensemos que es lo que pasa con x cuando se aproxima 2 en dirección positiva por aquí voy a tener a xy por equipo ya tener a fx y bueno pensemos en valores mayores que 2 no se podría ser 2.1 y 2.01 ahora la razón por la que dije calculadora es porque estos valores no son triviales para evaluar en esta función sin embargo vamos a intentarlo tengo 2.1 esto a su vez dividido entre 1 - el costello y aquí me quedaría 2.1 menos dos lo cual es 0.1 entonces el coseno de 0.1 haciendo una calculadora yo sé que el coche no es 01 así que esto de aquí debe ser muy cercano a 1 sin llegar a 1 y de hecho va a ser menor que 1 porque la función coseno nunca ser mayor que uno recuerda la función coseno está limitada entre menos uno y uno déjame escribir lo menos uno es menor o igual que el coseno dx que a su vez es menor o igual que uno la función coseno sololá entre estos dos valores así que esto va a estar aproximándose a uno pero va a ser menor que uno definitivamente no puede ser mayor que uno de hecho esa es una buena pista para ver cómo pueden explorar la estructura de esta expresión y luego podrían decir muy bien ahora vamos con 2.01 eso va a ser 2.0 1 entre 1 - el coseno de n bueno aquí tengo 2.012 es 0.01 entonces me queda el coseno de 0.01 que observa que esto va a ser todavía más cercano a 101 pero de nuevo esto va a ser menor que 1 no importa que el coste no de cualquier cosa va a estar entre menos uno y uno inclusive con estos valores porque mientras nos aproximamos a todos esta cosa va a aproximarse a uno por debajo por un valor menor así que ya podemos tener un poco de intuición esto se está aproximando a uno por debajo entonces uno menos eso va a ser algo positivo a medida que nos aproximamos a dos y bueno el numerador es positivo eso quiere decir que toda esta expresión entera va a ser positiva pero por otra parte va a ser un valor no acotado en dirección positiva como veremos esto no es acotado ya que la segunda evaluación es a un más cercana a una que esta primera evaluación ahora no hace falta decir que esto no va a ser acotado en dirección positiva eso quiere decir que vamos a ir así infinito positivo así que solamente estas dos opciones tienen ese resultado y ahora podemos hacer exactamente el mismo argumento a medida de que nos aproximamos a dos por la izquierda así que vamos a hacer una tabla por aquí tengo a x y por aquí tengo a efe de x y una vez más no tengo calculadora entonces ustedes podrían evaluar estas cosas en su casa y que vean muy claramente que son positivos a medida que nos acercamos a este valor de 2 se vuelven valores positivos más y más y más grandes y lo mismo va a pasar si tomamos por ejemplo 1.9 y si tomamos al 1.99 ya que aquí me quedaría 1.9 entre 1 - 12 no me de aquí tendrían 1.92 entonces esto me quedaría como menos 0.1 movamos la pantalla porque el segundo va a ser 1.99 entre 1 menos el coche no de menos 0.01 y el concepto de menos 0.1 es exactamente lo mismo que el coste de 0.1 y el coseno de - 0.01 es lo mismo que el coseno de 0.01 entonces estas dos cosas van a ser exactamente igual esta de aquí va a ser igual a ésta y esta de aquí va a ser igual a esta otra y por lo tanto nos vamos a aproximar de nuevo a infinito positivo así que la única opción donde veo que todo esto es cierto es justo la primera si nos aproximamos a dos del lado derecho o del lado izquierdo nos estamos aproximando en ambos casos a más infinito ahora bien también hay otra manera en la que podría deducir exactamente puedes fijarte que a medida que nos aproximamos a 2 el numerador va a ser positivo ya que el 2 es positivo y luego aquí a medida que nos aproximamos a 2 el coseno de cualquier cosa no puede ser mayor que 1 pero además esto se va a aproximar a 1 porque es menor que 1 así que esto es menor que 1 a medida que x se aproxima a dos y de hecho se vuelve uno cuanto x es igual a 2 y luego esto de aquí me queda uno menos o se note algo menor que 1 lo cual va a ser positivo en primer lugar y en segundo lugar vamos a obtener un valor muy pequeño cada vez que nos acerquemos más a uno vamos a obtener un valor más pequeño entonces al final tengo algo positivo dividido entre algo positivo lo cual en definitiva me va a dar un valor positivo y por otra parte como ya vimos sabemos que esto va a ser algo no agotado así que de nuevo es cogeríamos la primera opción como la correcta y va a ser algún agotado porque observa entre más cercanos estemos de 2 entonces este valor va a ser más cercano a 0 y entre más cercano estemos de 0 esto va a ser más cercano a 1 y si esto es más cercano a 1 entonces el denominador va a ser muy chicos y luego si dividimos algo entre algo muy muy muy chico eso va a volverse poco a poco no acotado y va a tender a infinito así que si observas es exactamente lo que vemos en la primera opción