Límites en infinito de cocientes (parte 1)

tenemos a fx es igual a 4x a la quinta menos 3x al cuadrado más 3 todo esto sobre 6x a la quinta menos 100 x al cuadrado menos 10 ahora yo quiero pensar en cuál es el límite el límite de fx mientras x se aproxima a infinito y hay varias maneras de hacer esto puede sustituir números muy grandes más y más grandes cada vez y así ver si esto se aproxima a un valor o podemos razonar lo a lo que me refiero es ver el comportamiento del numerador y denominador mientras x se hace muy muy muy grande y lo que yo digo es que mientras x se hace muy grande hay que enfocarnos ahorita en el numerador mientras se que se hace muy grande este término en el numerador 4x a la quinta será mucho más significante que cualquiera de estos algo al cuadrado se hace grande pero algo elevado a la quinta crece mucho más rápido similarmente en el denominador este término el término con el grado mayor 6x a la quinta crecerá más rápido que cualquiera de los otros términos aún más que este que bien tiene coeficientes 100 bueno va a crecer más rápido que ese no importa el 100 cuando tomamos algo cuando tienes algo elevado a la quinta crecerá mucho más rápido que algo elevado al cuadrado entonces mientras x se hace muy muy grande esto se va a aproximar a 4x a la quinta sobre 6x a la quinta para x muy grande o puedes decir que mientras x se aproxima a infinito mientras x se aproxima a infinito ahora bien podemos simplificar esto claro porque tenemos x a la quinta sobre x a la quinta estos dos se cancelan y nos quedan entonces dos tercios dos tercios podríamos decir que el límite de fx mientras x se aproxima a infinito mientras x se hace más más grande todos esos términos no van a importar tanto entonces esto se aproximará a dos tercios veamos la gráfica vale veamos y si tiene sentido lo que estamos diciendo estamos diciendo que hay unas tinto está horizontal en dos tercios y aquí está la gráfica la obtuve de wolframalpha esta línea da poco nombre entonces bueno vemos que x en efecto mientras x crece fx parecerá aproximarse a este valor que al parecer es de dos tercios entonces aquí voy a dibujar una 5ta horizontal la voy a dibujar un poco mejor ok entonces tenemos una cinta horizontal justo en dos tercios la estoy dibujando lo mejor que puedo aquí es igual a dos tercios el límite mientras x se hace muy grande mientras se aproxima a infinito que se acerca cada vez más a dos tercios pero si solamente observamos la gráfica parece que lo mismo está pasando desde la dirección de abajo mientras x se aproxima a menos infinito entonces podríamos decir que el límite de fx mientras x se aproxima a menos infinito eso también parece ser dos tercios podemos de hecho usar la misma cuando x se hace un número muy negativo se aleja o se va cada vez más a la izquierda en la línea numérica entonces los únicos números que van a interesar son el 4x a la quinta y el 6 x a la quinta así que esto es verdad para x muy grande y es también verdad para x muy negativa entonces también podemos decir que mientras x se aproxima a menos infinito y el x a la quinta sobre x a la quinta se cancelan obtenemos nuevamente dos tercios una vez más tú lo puedes ver en la gráfica tenemos una a sin tota horizontal en de igual a dos tercios el límite cuando f x tiende a infinito eso es dos tercios y el límite cuando f de x tiende a menos infinito es también dos tercios cuando tú hagas esto debes pensar en qué términos dominarán al resto y enfocarte en esos nos vemos