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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que vamos a tratar en este vídeo es el teorema del valor intermedio que a pesar de estos términos matemáticos que verán justo ahorita quiero pensar que es uno de los teoremas más intuitivos que hay posiblemente el teorema más intuitivo con el que te encontrarás en gran parte de tu carrera matemática así que primero lo voy a leer y después lo voy a interpretar y con esto yo espero que tú puedas ver que es bastante obvio no voy a probarlo en este vídeo pero creo que aquí en el fundamento conceptual debería de ser bastante sencillo entonces el teorema nos dicen supón que f es una función continua para cada punto en el intervalo avn y observa que estamos en un intervalo cerrado incluimos a e incluimos a ver así que permítanme dibujar un par de ejemplos de cómo se podría ver esta función dada esta oración es decir estamos suponiendo que f es una función continua para cada punto en el intervalo así que si por aquí tengo a mi hijo james y por acá me tomó a mi eje x déjame ponerles nombre este va a ser mi eje y este va a ser mi eje x y ahora me voy a tomar una respectiva am supongamos que este es mi valor de amd y una respectiva ven supongamos que este es mi valor de b efe es una función continua para cada punto en el intervalo eso significa que con seguridad tiene que estar definido en cada punto entre a y b porque para hacer una función continua debe estar definida en cada punto y además el límite de la función a medida que nos aproximamos a ese punto debe de ser igual al valor de la función en ese punto así que la función en definitiva va a tener una f supongamos que por aquí me tomo a efe am déjame ponerla este va a ser mi valor efe de am y en definitiva también voy a tener una fp si por aquí me tomo a efe supongamos por aquí podría ser al revés podría ser que fuera más pequeño que fedea de hecho ahorita voy a hacer un caso parecido pero bueno en este primer caso voy a suponer que f es más grande que fedea aquí lo voy a poner efe db pero si tratan de imaginar una función continua una manera de pensarlo es la siguiente si somos continuos sobre este intervalo que tengo aquí entonces tomamos el valor de la función en un punto de este intervalo aquí en fedea y si somos continuos debemos de ser capaces de llegar al otro punto a este punto aquí sin levantar nuestro lápiz así que puedo hacer un montón de cosas mientras estemos recordando que vamos a hacer la gráfica de una función es decir no podría yo hacer algo como esto porque esto es una función pero como si tenemos una función continua entonces podría dibujar algo como esto esta es una función continua y observa que no levante mi lápiz en ningún momento al dibujar esta función es decir que si de alguna manera tengo que levantar mi lápiz supongamos que estoy dibujando mi función y de repente levanto mi lápiz y sigo por acá en definitiva esto no es una función continua otro ejemplo si voy dibujando mi función y de repente levanto el lápiz me voy por acá y sigo con mi función ops en definitiva no es una función continua y en definitiva tampoco tengo una función continua si works me voy para acá y después regresó por acá y termina aquí esta no es una función continua observa que despegue mi lápiz así que esta tampoco es una función continua y me voy a quedar con esta este es un buen ejemplo de una función continua pero también puedo dibujar a otro tipo de función continua y de hecho lo voy a hacer voy a hacer otro ejemplo vamos a dibujar por aquí y vamos a dibujar por aquí y bueno déjame ponerles sus nombres este va a ser mi eje bien y por aquí tengo mi eje x y se me ocurre que ahora podemos tomar a negativa podría tener por aquí a am puede ser positivo negativa y lo mismo para ver que puede ser positivo o puede ser negativo no importa pero en esta ocasión vamos a voltear las cosas nos voy a decir que f es más grande lo voy a tener como un por acan efe fm lo voy a tomar por aquí así que déjame poner que este es f de am y por acá tengo am efe dv efe db y de nuevo vamos a dibujar una función continua entre estos dos puntos efe de am y fm así que voy a dibujar una función sin levantar mi lápiz y voy a suponer que tengo la gráfica de una función que se ve más o menos así así que estos son sólo dos ejemplos de una infinidad de casos donde podría tener una continuamos para cada punto en el intervalo en ese intervalo cerrado ahora dada esta primera frase hay dos formas de plantear la conclusión el teorema del valor intermedio nos dice lo siguiente dado esto la conclusión se puede escribir de alguna de estas dos formas por eso incluye ambas la primera forma de decirlo es que efecto mar a cada valor / efe de am y fm en ese intervalo o puede ser algo similar observa si me fijo aquí / efe de am y fm observa que mi función va a tomar cada uno de estos valores en este intervalo por ejemplo si llamo a este valor l entonces observa que existe un valor aquí donde se toman esta l pasa lo mismo por acá si me fijo en todos los valores / efe de am y fm todos los valores no se me toma algún valor arbitrario se me ocurre tomarme este dakar observa que esta l se toman aquí y también se toma aquí y también se toma aquí pero toman al menos un valor en todo este intervalo entonces eso es lo que nos dice la primera forma de escribir la conclusión pero también hay otra forma de escribir la conclusión la misma conclusión que es esta es una forma tal vez un poco más matemática dicen para cualquier l / efe fbi existe un valor sem en este intervalo cerrado a como ven tal que fcc es igual a l entonces al menos existe una sem en este caso esta sería nuestro valor de s aquí estamos tomando c pero en este caso tenemos varios candidatos por ejemplo este sería un candidato para este valor de cm aquí tenemos otro candidato para este valor de cm y por acá tenemos un tercer candidato para este valor desea entonces para cualquier el m / efe de am y fm existen y aquí debería decir al menos un valor entonces aquí voy a poner que aquí debería decir al menos - un valor sem en este intervalo cerrado como ven tal que fcc mc a igual a l justo como estamos viendo en estas dos gráficas ahora tengo es algo divertido que te podría entretener durante unos minutos es tratar de dibujar una función donde esta primera conclusión sea verdad pero de alguna manera la segunda conclusión no sea verdad entonces dirían bien vamos a tratar de suponer que hay una l donde no hay una c en ese intervalo y tal vez te quede más claro si lo dibujo así que para eso voy a mover la pantalla y vamos a tratar de dibujar aquí lo que estoy diciendo por aquí me voy a tomar de nuevo a mis ejes voy a tener por aquí a mi rey y por aquí me voy a tomar a mi eje x ok vamos a ponerles nombre este es mi eje i por aquí me voy a tomar mi eje x y para que sea más sencillo voy a decir que este es mi valor de amd ambos van a ser positivos este es mi valor de b y bueno voy a decir que por aquí no tengo a efe de este por aquí es mi valor de f de am ok y por aquí me voy a tomar efe dv voy a suponer que por aquí tengo a efe debe dejar de ponerle su nombre esté aquí es fpv y ahora voy a dibujar a mi función continua y como es continua entonces tenemos que ser capaces de dibujar una función desde este punto hasta este otro punto sin despegar el lápiz desde este punto y coma efe de am hasta este punto efe de viena vamos a suponer que no se existe una l por aquí esta va a ser mi l ok y voy a suponer que nunca tomamos este esta función continua nunca toma este valor / efe efe db entonces nunca vamos a tomar este valor crees que eso sea posible bien pues vamos a ver si puedo dibujar eso me voy a tomar una función recuerda no voy a despegar el lápiz así que me voy acercando y no la quiero tocar me pude acercando más y me puedo ir acercando más pero en definitiva no hay forma tengo que cruzar esta línea punteada si no quiero levantar mi lápiz en realidad tenemos que cruzar esta recta y por lo tanto estoy encontrando un valor sem en este caso este sería mi valor de ese donde tomamos el valor de l al aplicar la función y esta se observa que cae en este intervalo cerrado una vez más aquí no les estoy dando la prueba pero yo espero que tengas una mejor intuición de lo que está pasando con el teorema del valor intermedio y la clave aquí es recordar que estamos trabajando con una función si hacen su gráfica y tenemos que dibujarla desde el punto efe hasta el punto b efe db sin despegar el lápiz entonces tenemos una función continua y por lo tanto vamos a tomar cada valor / efe de am y fm
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