Ejemplo resuelto: utilizar el teorema del valor intermedio

se a efe una función continua en el intervalo cerrado menos 2 - 1 donde efe de menos 2 es igual a 3 ok efe de uno es igual a 6 cuál de las siguientes opciones es garantizada por el teorema del valor intermedio y bueno incluso antes de ver esto recordemos que sabemos acerca del teorema del valor intermedio bien si recuerdas vas a ver que lo podemos aplicar justo aquí porque tenemos una función continua un intervalo cerrado en el intervalo cerrado menos 21 y además sabemos cuánto vale la función en menos 2 efe - 2 es igual a 3 y también sabemos cuánto vale la función en uno la función en uno vale 6 así que si esto no es familiar para ti te invito a que vean los vídeos del teorema del valor intermedio en la canaca demint ya que el teorema del valor intermedio nos dice lo siguiente que si tenemos una función continua en un intervalo cerrado entonces la función deberá tomar cada valor entre los valores de los extremos del intervalo o tal vez otra forma de decirlo no sea la siguiente para cualquier l entre 3 y 6 entre 3 y 6 hay al menos un aseo hay al menos unas en el intervalo cerrado este que tengo aquí el intervalo cerrado menos 2 a 1 tal qué y aquí viene lo importante tal que fm dc sea igual a esta él es que esto sale del teorema del valor intermedio en un lenguaje coloquial lo único que está diciendo es mira si tengo una función continua que voy a dibujar por aquí en un segundo si tengo una función continua es decir una función continua es aquella donde al dibujarla no puedo despegar el lápiz entonces esta función tendría que tomar cada valor entre 3 y 6 o dicho de otra manera hay al menos un punto en este intervalo hay al menos un punto en este intervalo que toma cualquier valor entre 3 y 6 el que tú quieras y esto tiene mucho sentido porque nos despegamos el lápiz entre 3 y 6 vamos a dibujar nuestra función así que veamos cuáles de estas respuestas cumplen con esto que estoy diciendo y se observa aquí dice s es igual a 4 así que en este caso él es igual a 4 y entonces diríamos para cualquier 4 bien entre 3 y 6 hay al menos una se en el intervalo menos 21 tal que fcc es igual a l hay al menos una se entre 3 y 6 no no no espera hasta aquí vamos bien fcc es igual a 4 para al menos algunas c pero tenemos que estar entre menos 2 y un hombre porque ese es un valor de x así que se debe de estar en este intervalo cerrado y aquí el 3 y el 6 en definitiva no están en ese intervalo 10 más para que me entiendas mejor voy a tratar de dibujarlo por aquí esto voy a tratar de dibujar esto que está diciendo el teorema del valor intermedio para que lo veas de una mejor manera si por aquí tengo mí que me deja no tenerlo por aquí por aquí tengo james voy a suponer que es este de aquí y por aquí tengo mi eje x lo voy a poner justo así y bueno voy a decir que este es mi eje y este es mi eje x y déjame decidir que aquí me tomo valores entre -2 y 1 así que por aquí tengo menos 2 por aquí tengo menos 10 y 1 me voy a fijar en este intervalo y bueno estamos entre 36 entonces supongamos que por aquí tengo al 3 no tengo la misma escala pero bueno lo puedo suponer y entonces por aquí tengo al 6 lo que me dice el teorema del valor intermedio es que si me fijo en este intervalo cerrado menos 2,1 estoy desde aquí hasta acá tengo este intervalo cerrado ok por otra parte yo sé que efe - 2 es igual a 3 la voy a poner con este color efe 2 es igual a 3 estamos como por aquí y por otra parte hace que f 1 es igual a 6 estamos como por aquí y tengo una función continua en ese intervalo déjame ponerlo con este color entonces tenemos una función continua entre 3 y 6 meses que dar con este de aquí y lo que me dice el teorema del valor intermedio mal observemos que es lo que está pasando aquí bueno lo que me dice el teorema del valor intermedio es que para cada entre 3 y 6 entre 3 y 6 no sean tomate un valor por ejemplo este de aquí entonces existen al menos un hace al menos una se que toma ese valor cuando le aplicamos la función es decir aquí tenemos a cm y llegamos a este valor el m donde fcc m es igual a él y dice al menos una l porque puede ser que no se te tomes este valor de aquí y este de aquí y te encuentres con este con este y veas que tienes dos es entonces en este caso tendrías una c y otras en esta de aquí supongamos esto de aquí tal es que te den este valor de l pero lo que sí sabemos es que hay al menos unas en que observan que sean es un valor de x se están entre -2 y menos 1 mientras que l tiene que estar entre 6 y 3 no podemos estar más allá de 6 ni más abajo de 3 no observa solamente estamos aquí así que veamos si nos fijamos en la primera opción fcc es igual a 4 bueno 4 está entre 6 y 3 recuerda es el valor de l así que supongamos que este es mi valor de 4 ok si nos fijamos llegamos justo aquí aquí tenemos a este valor de ce y si observas se cae entre menos 2 y 1 entonces aquí tenemos el valor de 4 y se tiene que estar entre menos 2 y 1 y aquí está el problema para el menos algunas m entre 3 y 6 quién sabe qué pasa entre 3 y 6 recuerda si nos fijamos por acá tenemos al 2 por acá tenemos al 3 estamos mucho más allá de este intervalo y de hecho no podemos saber qué es lo que está pasando con la función entre 3 y 6 solamente sabemos qué es lo que pasa con la función entre menos 2 y 1 es por eso que esta no es mi opción correcta y como no es una opción correcta la voy a cancelar ok ahora fcc igual a 0 muy bien veamos qué es lo que pasa aquí fcc igual a 0 en este caso l vale cero y estamos cayendo aquí y se observa no podemos caer ahí porque está fuera de nuestro intervalo 36 entonces 0 en definitiva no está entre 3 y 6 por lo tanto ya no importa qué es lo que vaya a pasar después porque no es el caso que queremos entonces también puedo cancelar en este caso fcc igual a cero él no puede ser cero porque es cero no está entre 3 y 6 también puedo cancelar este caso y me queda esta última opción que dice fcc es igual a 4 regresamos el caso donde l vale 4 l vale 4 ok está entre 3 y 6 para al menos unas m entre menos 2 y 1 recuerdan se caen entre -2 y 1 así que en efecto estamos justo aquí va a ser nuestra respuesta correcta porque l cae entre 3 y 6 y se cae entre menos 2 y 1 y bueno yo pude haber dibujado de muchas formas de esta función se me ocurre que puede haber dibujado una función donde tomemos muchos valores este valor de 4 algo así si observas en este caso cuando tomamos el valor de 4 tenemos uno de ellos tenemos otro de ellos y tenemos por acá otro de ellos pero todas esas se caen entre -2 y uno o inclusive puede haber hecho una recta algo más o menos así observa no puede haber hecho algo así y después al vacío porque no tendríamos una función continua no podemos tener discontinuidad es así que tenemos que tener una función continua y no soltar el lápiz llegamos a este punto tengo una recta y bueno si tuviéramos por ejemplo en este caso aquí puedes ver que tenemos al menos unas en aquí tendríamos el valor de las que estamos buscando y ésta se vuelve a caer entre menos 2 y 1 así que ya está esta es mi respuesta correcta que está garantizada gracias al teorema del valor intermedio