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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)

Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 1

Lección 2: Definición de límites y utilizar la notación de límite
Matemáticas
Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Límites y continuidad
Definición de límites y utilizar la notación de límite
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Introducción a límites

Google Classroom
Los límites describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo.
Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y (4, 6) y termina en (7,9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
El límite de f en x, equals, 3 es el valor al cual se aproxima f a medida que nos acercamos más y más a x, equals, 3. Gráficamente, es el valor de y al que tendemos en la gráfica de f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde x, equals, 3.
Por ejemplo, si partimos del punto left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de x, equals, 3, entonces nuestro valor y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de 5.
La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia arriba sobre la recta desde (1, 3) hasta (2.99, 4.99).
Creado con Geogebra.
Similarmente, si empezamos en left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de x, equals, 3, el valor y nuevamente estará muy cerca de 5.
La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia abajo sobre la recta desde (5, 7) hasta (3.01, 5.01).
Creado con Geogebra.
Por estas razones, decimos que el límite de f en x, equals, 3 es 5.
La gráfica de la función f tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del punto (3, 5).
Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de f en x, equals, 3 y el valor de f en x, equals, 3, es decir, f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Y sí, el límite de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 en x, equals, 3 es igual a f, left parenthesis, 3, right parenthesis, pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función g. Esta función es igual a f, excepto que no está definida para x, equals, 3.
Se grafica la función g. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y de un círculo abierto en (3, 5) y termina en (7, 9).
Tal como con f, el límite de g en x, equals, 3 es 5. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a x, equals, 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a 5.
La gráfica de la función g tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del círculo abierto en (3, 5).
Así que el límite de g en x, equals, 3 es igual a 5, ¡pero el valor de g en x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!
Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.
Problema 1
Esta es la gráfica de h.
¿Cuál es una estimación razonable para el límite de h en x, equals, 3?
Escoge 1 respuesta:

Tenemos también una notación especial para hablar de límites. Así es como escribimos el límite de f cuando x se acerca (o tiende a) 3:
"El lıˊmite de...""...la funcioˊn f..."↘↙lim⁡x→3f(x)↗"...cuando x tiende a 3."\begin{aligned} \scriptsize\text{"El límite de..."}&\qquad\scriptsize\text{"...la función }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"...cuando }x\text{ tiende a }3\text{."} \end{aligned}
El símbolo limit significa que tomamos el límite de algo.
La expresión a la derecha de limit es la expresión de la cual tomamos el límite. En nuestro caso, se trata de la función f.
La expresión x, \to, 3 que aparece debajo de limit significa que tomamos el límite de f a medida que los valores de x se acercan a 3.
Problema 2
Esta es la gráfica de f.
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Problema 3
¿Cuál expresión representa el límite de x, squared cuando x tiende a 5?
Escoge 1 respuesta:

En los límites, queremos estar infinitamente cerca.

¿Qué queremos decir con "infinitamente cerca"? Examinemos los valores de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 a medida que los valores de x se acercan mucho a 3. (Recuerda que al hablar de límites no nos interesa f, left parenthesis, 3, right parenthesis en sí).
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
2, point, 94, point, 9
2, point, 994, point, 99
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Podemos ver que cuando los valores de x son menores que 3, pero se acercan más y más, los valores de f se acercan más y más a 5.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
3, point, 15, point, 1
3, point, 015, point, 01
start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
También vemos que cuando los valores de x son mayores que 3, pero se acercan más y más, los valores de f se acercan más y más a 5.
Observa que con lo que más nos acercamos a 5 es con f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 y f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001, que están a 0, point, 001 unidades de distancia de 5.
Podemos acercarnos más, si así lo deseamos. Por ejemplo, supongamos que queremos estar a 0, point, 00001 unidades de 5; entonces podemos escoger x, equals, 3, point, 00001 y en ese caso f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.
Esto no tiene fin. Siempre podemos acercarnos más a 5. Pero ¡de eso se trata "infinitamente cerca"! Como "infinitamente cerca" no es posible en la realidad, lo que queremos decir con limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 es que no importa cuánto queramos acercarnos a 5, existe un valor de x muy cercano a 3 que nos llevará ahí.
Si esto te parece difícil de captar, quizá esto te ayude: ¿cómo sabemos que hay un número infinito de números enteros diferentes? No es como si los contáramos todos y llegáramos a infinito. Sabemos que son infinitos porque para cada número entero hay uno que es aún mayor que ese. Siempre hay otro, y otro más.
En límites no queremos llegar a "infinitamente grande", sino ir "infinitamente cerca". Cuando escribimos limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos decir que siempre podemos estar más y más cerca de 5.
Problema 4
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 7, point, 16, point, 32
minus, 7, point, 016, point, 1
minus, 7, point, 0016, point, 03
minus, 6, point, 9996, point, 03
minus, 6, point, 996, point, 1
minus, 6, point, 96, point, 32
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Otro ejemplo: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

Analizemos limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que es el límite de la expresión x, squared cuando x se acerca a 2.
Se grafica la función y = x cuadrada. El eje x va de menos 4 a 6. La gráfica consta de una curva. La curva es una parábola que empieza en (menos 3, 9), se mueve hacia abajo, pasa por (menos 1, 1) y por (0, 0), se mueve hacia arriba, pasa por (1, 1) y termina en (3, 9).
Podemos ver en la gráfica que cuando nos acercamos al punto donde x, equals, 2, los valores de y están más y más cerca de 4.
La gráfica de y = x cuadrada está animada con un punto que se mueve hacia arriba sobre la curva desde (1.5, 2.25) hasta (1.99, 3.96) y después se mueve hacia abajo sobre la curva desde (2.5, 6.25) hasta (2.01, 4.04).
Creado con Geogebra.
También podemos observar esta tabla de valores:
xx, squared
1, point, 93, point, 61
1, point, 993, point, 9601
start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
xx, squared
2, point, 14, point, 41
2, point, 014, point, 0401
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
También podemos ver cómo nos podemos acercar a 4 tanto como queramos. Supongamos que queremos estar a menos de 0, point, 001 unidades de 4. ¿Cuál valor de x cercano a x, equals, 2 podemos escoger?
Intentemos x, equals, 2, point, 001:
2, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001
Este valor está a más de 0, point, 001 unidades de 4. Bueno, intentemos x, equals, 2, point, 0001:
2, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001
¡Este valor ya está suficientemente cerca! Al intentar valores de x que están más y más cerca de x, equals, 2, podemos acercarnos aún más a 4.
En conclusión, limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

Un límite debe ser el mismo desde ambos lados.

Si regresamos a f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 y limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver cómo se aproxima a 5, ya sea que los valores de x cerzcan hacia 3 (lo que se llama "acercarse por la izquierda"), o bien decrezcan hacia 3 (lo que se llama "acercarse por la derecha").
Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica es una recta que empieza en (0, 2) y se mueve hacia arriba, pasa a través de (2,4) y de (4, 6). Una flecha que apunta hacia arriba sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la izquierda. Una flecha que apunta hacia abajo sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la derecha.
Ahora considera, por ejemplo, la función h. El valor de y al que nos acercamos, cuando los valores de x tienden a x, equals, 3, depende de si hacemos esto desde la izquierda o desde la derecha.
Se grafica la función h. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de 2 rectas. La primera recta empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en un círculo abierto en (3, 4). La segunda recta empieza en un círculo cerrado en (3, 6), se mueve hacia arriba y termina en (6, 9).
Cuando nos acercamos a x, equals, 3 por la izquierda, la función tiende a 4. Al acercarnos a x, equals, 3 por la derecha, la función tiende a 6.
La gráfica de la función h tiene una flecha, que representa acercarse por la izquierda, apunta hacia arriba y a la derecha a lo largo de la primera recta en dirección del círculo abierto en (3, 4). Otra flecha, que representa acercarse por la derecha, apunta hacia abajo y a la izquierda a lo largo de la segunda recta en dirección del círculo cerrado en (3, 6).
Cuando una función no se aproxima al mismo valor por ambos lados, decimos que el límite no existe.
Problema 5
Esta es la gráfica de la función g.
¿Cuáles de estos límites existen?
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