If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:11:32

Transcripción del video

en este vídeo quiero familiarizarte con la idea del límite esta es una súper idea que es la base de todo el cálculo y a pesar de ser una idea tan importante en realidad es una idea muy simple pero mucho muy simple así que déjame definir una función definamos algo simple así como que fx es igual la x - 1 / / x menos uno seguro vas a decir si tengo lo mismo en el numerador y en el denominador algo que está divirtiéndose por sí mismo eso sólo sería igual a uno que no podríamos simplificarlo simplemente a efe de x iguala o no pero la diferencia de fx igual a 1 a esto que tenemos aquí es que esta expresión no está definida cuando equivale a 1 y si ponemos a ver voy a escribirlo por aquí fd de ser no no digo efe de uno esto va a ser en el numerador uno menos uno que es re suceder o y en el denominador será 1 - 1 que también es cero así que cualquier cosa dividida por cero incluyendo al cero pues no está definido no está definido puedes hacer la simplificación o sea puede simplificar y decir que esto es exactamente igual que escribir efe dx es igual a 1 pero tienes que agregar una restricción en la cual debes de indicar que x no puede tomar el valor 1 y así esta expresión y está de este lado son equivalentes ésta y ésta van a tomar el valor de uno para todas los valores de x que no sea el 1 así que como gráfico esta función una vez vamos a dibujar por aquí este es mi eje ye igual a efe de x éste que está acá es pues mi eje x aquí voy a tener el valor 1x es igual a 1 de este lado esta x es igual a menos 1 hora que estará ye igual a uno más abajo está el -1 pb csj no es tan importante así que para cualquier x distinto de uno fd x vale uno saque se verá una línea como ésta continúa excepto en el punto que vale 1 aquí tengo un hueco así que lo voy a dibujar con este pequeño círculo para indicar que tengo un hueco en ese punto donde x vale 1 y luego continúa la definición no nos dice que vamos a hacer en ese punto es indefinida así que esta es la función la que tenemos aquí y si alguien nos preguntará cuánto vale efe de uno pues esta es una definición de una función y hay un hueco aquí déjenme volver a escribir aunque sea un poco redundante efe de uno no está definido pero qué pasa si les preguntó hacia dónde se está acercando esta función es decir a medida que x se va acercando más y cada vez más a uno así que cuando nos vamos acercando cada vez más y más y más a uno a donde se acerca la función por el lado izquierdo no importa qué tanto me acerca uno mientras no llegue a él fd x sigue valiendo uno y por el lado derecho tenemos una situación muy similar así que podríamos decir y cada vez estarás más familiarizado con estas ideas porque además hadas muchos más ejemplos que el límite esto es el rey m cuando x se va acercando a uno cuando se va acercando a 1 df dx es igual a a medida que te acercas y te acercas increíblemente infinito la mente te acercas y nuestra función será igual a 1 mientras x se acerca uno sin llegar a uno durante todo el tiempo así diremos que el límite cuando x se va acercando a uno de fx es igual a 1 y bueno tenemos una anotación un poco caprichosa pero estamos reflexionando sobre qué pasa cuando x se acerca uno y qué pasa con fx es momento de hacer otro ejemplo para que tengas bien la idea general hagamos otro ejemplo y analicemos su gráfica sólo digamos que tenemos fd x aunque mejor lo cambiamos a gdx para que haya un poco de variedad y está definida como como x al cuadrado cuando o x sea distinto de dos y para cuando x e igualados estará definida como uno así que otra vez tenemos un caso interesante en esta función como puedes ver no es continua presenta una discontinuidad y ahora voy a graficar la este es mi eje ye igual a efe de x este es mi eje x ahora voy a dibujar este cuando x vale dos así que tengo el 1 tengo el 2 por este lado está el -1 aquí está el -2 y ahora voy a dibujar y en todos lados excepto en donde x vale dos tenemos x cuadras que es una parábola así que vamos a dibujarla más o menos como no creo que mejor esté vamos a hacer otro intento y si esta parábola se ve más o menos así y una verdad pues no es la palabra más bella en la historia del dibujo de parábolas nos tiene que dar la idea de que hay una asimetría pero mejor a de otro intento y entonces en este intento a ver aquí vamos ya que eso aquí va vamos y muy bien esto se ve muy bien entonces es la gráfica de x al cuadrado pero no es x al cuadrado cuando x vale 2 entonces otra vez en este punto cuando x es igual a 2 tenemos que tener una pequeña discontinuidad y voy a dibujar otro hueco en este punto cuando x vale 12 entonces vale uno no lo estoy haciendo la misma escala y entonces digamos que si aquí está el 4 aquí tengo el 2 aquí estaría el 1 aquí el 3 así que cuando x vale 2 y nuestra función vale uno es una función un poco caprichosa así la podemos definir y las puede definir como tú quieras y observemos es la gráfica de x cuadrado a lo largo de todos los valores excepto cuando x vale 2 en donde hay un hueco o sea no puede tomar el valor de x al cuadrado porque equivale dos y tenemos que utilizar el valor de uno porque x vale 2 y utilizamos gdx gdx que vale 1 cuando x vale dos exactamente en el punto cuando vale 2 es en el único lugar donde vale 1 y en el resto se mantiene en la función bueno debería decir en gdx que es igual a x cuadrada bueno y es el momento de hacer preguntas si fuera evaluar g2 bueno me remito a la definición entonces cuando x vale 2 aquí me indica que tengo que usar este valor que me dice que tiene que ser igual a 1 pero vayamos a las preguntas interesantes por ejemplo cuál es el límite cuando xe aproximados de gdx otra vez estamos utilizando notación caprichosa pero estamos preguntando algo realmente simple qué es lo que pasa cuando x se va acercando cada vez más y más al 2 que le pasa gdx cuando x se acerca cada vez más y más al número 2 a medida que x se va acercando a 2 y esa es la definición rigurosa que hemos venido utilizando era el valor al que se va acercando gdx es decir si tengo 1.9 1.99 o 1.99 999 o veámoslo por el otro lado qué valor toma gdx cuando equivale 2.1 o 2.09 o 2.01 y observamos en la gráfica como x se va acercando cada vez más al 2 y haciendo un recorrido visual mientras x acercados podemos ver que la gráfica se va acercando poco a poco aun cuando el valor de la función cae a 1 el límite de la función cuando x acercados es igual a 4 también podemos hacer esto de manera numérica y hagámoslo con una calculadora a ver en voy a traer mi calculadora tengo que encontrar la mí me infalible calculadora finalmente aquí está y podríamos decir de manera numérica cuál es el valor cuando x se acerca a dos cuando x tiene el valor de 1.9 lo que nos indican aquí así tenemos 1.9 al cuadrado 3.61 pero qué pasa si me quiero acercar más por ejemplo con un 1.99 así que otra vez y esta vez si obtengo 3.96 y qué pasa si ahora utilizo 1.999 y a eso lo elevó al cuadrado y ahora obtengo 3.996 y observen que sí me quiero seguir aproximando nuestro punto digamos que ahora utilizo 1.999 999 999 al cuadrado que es lo que obtuve bueno no será exactamente cuatro porque la calculadora hace redondeó pero podríamos decir que en realidad estamos muy muy muy muy muy cerca del 4 y podemos hacer algo similar si nos acercamos del lado derecho y obtendremos un resultado similar al que obtuvimos cuando nos acercamos por el otro lado veamos qué pasa si ahora pruebo con 2.1 al cuadrado obtengo 4.4 y ahora intentaré con 2.30 si uno estamos más cercanos al 2 y luego al cuadrado y nos vamos acercando cada vez más al 4 y entonces parece ser que a medida que nos vamos acercando y es una manera numérica de expresar lo que el límite sin importar la dirección en la que nos acerquemos de x cuando se acerca a dos aun cuando en ese punto esté definido como uno en el límite nos acercamos al 4
AP® es una marca registrada de College Board, que no ha revisado este recurso.