Usar tablas para aproximar valores de límites

Los límites son una herramienta para razonar acerca del comportamiento de funciones, y las tablas son una herramienta para razonar acerca de límites. Una cosa buena con las tablas es que podemos obtener estimaciones más precisas de límites que al mirar las gráficas.

Al usar una tabla para aproximar límites, es importante crearla de manera que simule el efecto de estar "infinitamente cerca" del valor deseado de $x$‍.

Imaginemos que nos piden aproximar este límite:

Nota: la función de hecho no está definida en $x=2$‍, pues el denominador vale cero, pero el límite cuando $x$‍ se acerca a $2$‍ sí existe.

Paso 1: queremos escoger un valor que sea un poco menor que $x=2$‍ (es decir, un valor "a la izquierda" de $2$‍, si pensamos en el eje $x$‍ estándar), así que podemos empezar con algo como $x=1.9$‍.

Paso 2: intenta algunos otros valores de $x$‍, para simular la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$‍ desde la izquierda.

Observa cómo nuestros valores de $x$‍ $\{1.9,1.99,1.9999\}$‍ realmente se "enfocan" alrededor de $x=2$‍. Una elección más mala para los valores de $x$‍ hubiera sido con incrementos constantes, como $\{-1,0,1\}$‍, que no son muy útiles para pensar en estar infinitamente cerca de $x=2$‍.

Paso 3: acercarse a $x=2$‍ desde la derecha, tal como hicimos desde la izquierda. Queremos hacer esto de manera que simule la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$‍.

(Nota: hemos eliminado $x=2$‍ de la tabla para ahorrar espacio, y también porque no es necesario para razonar acerca del valor del límite).

Si observamos la tabla que hemos creado, tenemos una evidencia muy fuerte de que el límite es $0.25$‍. Pero, si somos honestos, debemos admitir que se trata solamente de una aproximación razonable. No podemos decir con certeza que este es el valor real del límite.

He aquí varias cosas a cuidar cuando creas tus propias tablas para aproximar límites:

Suponer que el valor de la función es el límite. El ejemplo anterior destaca un caso en el que la función no está definida y el límite sí existe. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite basándote en el valor de la función.

No estar infinitamente cerca. Estar infinitamente cerca significa que tratamos de acercarnos tanto al valor deseado de $x$‍ que hay muy poco espacio entre donde estamos y ese valor; tan cerca, que podamos convencernos que la estimación que tenemos es casi seguramente el valor del límite.

No acercarse desde ambos lados. Recuerda acercarte al valor deseado de $x$‍ desde la izquierda y la derecha. Recuerda que, para que el límite exista, los límites desde la izquierda y la derecha deben ser iguales. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite después de acercarte al valor deseado de $x$‍ solamente desde un lado.

Suponer que "lado izquierdo" significa "negativo". Algunos estudiantes creen erróneamente que para acercarse por la izquierda deben usar números negativos. En el ejemplo anterior, nos acercamos a $x=2$‍ desde la izquierda por medio de números que eran ligeramente menores que $2$‍, tales como $1.9$‍ y $1.99$‍. No supongas que requieres valores negativos de $x$‍ al acercarte desde la izquierda.

Confundir el valor del límite con el valor de la función. Recuerda que el límite de una función en cierto punto no es necesariamente igual al valor de la función en ese punto. Por ejemplo, en el problema 2, $g(5)=6.37$‍, pero ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ es aproximadamente $3.68$‍.

Pensar que el valor del límite es siempre un entero. Algunos límites son "agradables" y tienen valores enteros o fraccionales. Por ejemplo, el límite en nuestro primer ejemplo fue $0.25$‍. Algunos límites no son tan agradables, como por ejemplo el límite en el problema 2, que está en algún valor cercano a $3.68$‍.