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Usar tablas para aproximar valores de límites

Las tablas pueden ser una herramienta poderosa para aproximar un límite, pero deben usarse sabiamente. Aprende cómo crear tablas adecuadas para poder encontrar una buena aproximación de un límite, y cómo aproximar un límite dada una tabla de valores.
Los límites son una herramienta para razonar acerca del comportamiento de funciones, y las tablas son una herramienta para razonar acerca de límites. Una cosa buena con las tablas es que podemos obtener estimaciones más precisas de límites que al mirar las gráficas.
Al usar una tabla para aproximar límites, es importante crearla de manera que simule el efecto de estar "infinitamente cerca" del valor deseado de x.

Ejemplo

Imaginemos que nos piden aproximar este límite:
limx2x2x24
Nota: la función de hecho no está definida en x=2, pues el denominador vale cero, pero el límite cuando x se acerca a 2 sí existe.
Paso 1: queremos escoger un valor que sea un poco menor que x=2 (es decir, un valor "a la izquierda" de 2, si pensamos en el eje x estándar), así que podemos empezar con algo como x=1.9.
x1.92
f(x)0.2564indefinida
Paso 2: intenta algunos otros valores de x, para simular la idea de estar infinitamente cerca de x=2 desde la izquierda.
x1.91.991.99992
f(x)0.25640.25060.25001indefinida
Observa cómo nuestros valores de x {1.9,1.99,1.9999} realmente se "enfocan" alrededor de x=2. Una elección más mala para los valores de x hubiera sido con incrementos constantes, como {1,0,1}, que no son muy útiles para pensar en estar infinitamente cerca de x=2.
Paso 3: acercarse a x=2 desde la derecha, tal como hicimos desde la izquierda. Queremos hacer esto de manera que simule la idea de estar infinitamente cerca de x=2.
x1.91.991.99992.00012.012.1
f(x)0.25640.25060.250010.249990.24940.2439
(Nota: hemos eliminado x=2 de la tabla para ahorrar espacio, y también porque no es necesario para razonar acerca del valor del límite).
Si observamos la tabla que hemos creado, tenemos una evidencia muy fuerte de que el límite es 0.25. Pero, si somos honestos, debemos admitir que se trata solamente de una aproximación razonable. No podemos decir con certeza que este es el valor real del límite.
Problema 1
A tres estudiantes se les dio la función f y se les pidió estimar limx2f(x). Cada estudiante creó una tabla (se muestran a continuación).
Cada tabla es correcta, pero ¿cuál es la mejor para aproximar el límite?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Errores comunes al crear tablas para estimar límites

He aquí varias cosas a cuidar cuando creas tus propias tablas para aproximar límites:
Suponer que el valor de la función es el límite. El ejemplo anterior destaca un caso en el que la función no está definida y el límite sí existe. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite basándote en el valor de la función.
No estar infinitamente cerca. Estar infinitamente cerca significa que tratamos de acercarnos tanto al valor deseado de x que hay muy poco espacio entre donde estamos y ese valor; tan cerca, que podamos convencernos que la estimación que tenemos es casi seguramente el valor del límite.
Evita seleccionar valores de x en incrementos constantes, como {1,0,1}, o aún {1.91,1.92,1.93}, pues esos valores no nos llevan infinitamente cerca, solo más o menos cerca. Para estar infinitamente cerca, queremos ir reduciendo nuestros incrementos, con valores de x como {1.9,1.99,1.999}, de manera que vamos reduciendo el espacio entre donde estamos y donde queremos estar.
No acercarse desde ambos lados. Recuerda acercarte al valor deseado de x desde la izquierda y la derecha. Recuerda que, para que el límite exista, los límites desde la izquierda y la derecha deben ser iguales. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite después de acercarte al valor deseado de x solamente desde un lado.
Suponer que "lado izquierdo" significa "negativo". Algunos estudiantes creen erróneamente que para acercarse por la izquierda deben usar números negativos. En el ejemplo anterior, nos acercamos a x=2 desde la izquierda por medio de números que eran ligeramente menores que 2, tales como 1.9 y 1.99. No supongas que requieres valores negativos de x al acercarte desde la izquierda.
Problema 2
La función g está definida en todos los números reales. Esta tabla muestra algunos valores selectos de g.
xg(x)
43.37
4.93.5
4.993.66
4.9993.68
56.37
5.0013.68
5.013.7
5.13.84
63.97
¿Cuál es una estimación razonable para limx5g(x)?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Errores comunes al estimar límites a partir de tablas

Confundir el valor del límite con el valor de la función. Recuerda que el límite de una función en cierto punto no es necesariamente igual al valor de la función en ese punto. Por ejemplo, en el problema 2, g(5)=6.37, pero limx5g(x) es aproximadamente 3.68.
Pensar que el valor del límite es siempre un entero. Algunos límites son "agradables" y tienen valores enteros o fraccionales. Por ejemplo, el límite en nuestro primer ejemplo fue 0.25. Algunos límites no son tan agradables, como por ejemplo el límite en el problema 2, que está en algún valor cercano a 3.68.

Preguntas de recapitulación

Problema 3
Un estudiante creó una tabla para ayudarle a razonar acerca de limx7g(x).
x66.996.999977.00017.018
g(x)3.411.941.9252indefinida1.92481.910.46
De acuerdo a la tabla, ¿cuál puede ser una conclusión razonable acerca del límite?
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
La tabla muestra algunos valores de la función f. La función es creciente en todas partes, excepto en x=5, y limx5f(x) existe.
x2345678
f(x)3.74.34.94.85.66.26.9
¿Cuál es una estimación razonable para limx5f(x)?
Escoge 1 respuesta:

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