Teorema para límites de funciones compuestas

En este video vamos a intentar comprender  los límites de las funciones compuestas,   o al menos una forma de pensar sobre los límites  de las funciones compuestas, y, en particular,   vamos a pensar en cómo encontrar el límite cuando  x se acerca a a de f(g(x)), y vamos a ver que, bajo   ciertas circunstancias, esto será igual a f ( lim  x → a g(x)). Y seguro te estás preguntando ¿cuáles   son esas circunstancias? Bueno, esto será cierto  si y sólo si se cumplen dos cosas: en primer   lugar, este límite debe existir, el límite cuando  x → a g(x) debe existir; en segundo lugar, se   debe cumplir que la función f sea continua en este  punto y f es continua en L. Así que veamos algunos   ejemplos en donde trataremos de aplicar esta idea.  A ver si es posible. Aquí tengo dos funciones que   están representadas gráficamente: en el lado  izquierdo tenemos la función f y en el lado   derecho tenemos la función g. Primero averigüemos  cuál es el límite cuando x → -3 f(g(x)). Pausa   este video y primero trata de aplicar el teorema,  y si puedes aplicarlo trata de calcular el límite.   Entonces, lo primero que debemos ver es  si se puede aplicar el teorema. Entonces,   en primer lugar, si tuviéramos que encontrar el  límite cuando x → -3 (g(x)), ¿cuál sería? Bueno,   cuando nos acercamos a -3 desde la derecha parece  que la función está en 3, y cuando nos acercamos a   -3 desde la izquierda parece que nuestra función  está en 3. Así que todo indica que este límite   es 3; aunque el valor de g en -3 es -2, pero es  un punto de discontinuidad: al acercarnos a él   desde cualquier lado, el valor de la función  es 3; entonces, esto va a ser 3. Sí existe, y,   por lo tanto, cumplimos con esa primera condición.  Ahora, la segunda pregunta es ¿nuestra función f   es continua en este límite?, ¿es continua en 3?  Bueno, cuando x = 3, sí, parece que en ese punto   la función definitivamente es continua, por lo que  podemos decir que este límite va a ser igual a f   (lim x→ -3 g(x)). Cierro paréntesis, y sabemos  que esto es igual a 3 y que f(3 ) = -1. Así que   esto cumplió las condiciones para este teorema y  pudimos usar el teorema para resolver este límite.