Límites de funciones compuestas: el límite interno no existe

Muy bien, obtengamos un poco más de práctica  calculando límites de funciones compuestas. En   este caso queremos encontrar el lim x → -1 g  (h(x)) y podemos ver la función g definida de   manera gráfica por aquí, a la izquierda, mientras  que podemos ver la función h definida de manera   gráfica por aquí, a la derecha. Pausa el video  e inténtalo por tu cuenta. Muy bien, seguramente   tu primera intención fue decir "Ok, ¿cuál es  el límite cuando x se aproxima a -1 h((x))? Y   si es que existe ese límite, entonces pondré ese  valor en g". Bueno, si tomamos el límite cuando   x → -1 de h(x), podemos ver que tenemos un límite  distinto cuando nos aproximamos desde la derecha   que cuando nos aproximamos desde la izquierda,  así que tal vez estés tentado a rendirte en este   momento. Pero lo que haremos en este video es  darnos cuenta de que, el límite de esta función   compuesta realmente existe a pesar de que el  límite cuando x → -1 h(x) no exista. Así que,   ¿cómo lo encontramos? Lo que podemos hacer  es tomar los límites por la izquierda y   por la derecha. Primero pensemos en cuál es el  límite cuando x → -1 por la derecha de... bueno,   de g(h(x)). Bueno, para pensar en esto tenemos  que encontrar cuál es el límite de h cuando x →   -1 por la derecha. Si nos aproximamos a -1 por la  derecha, parece que h se aproxima a -2. Otra forma   de verlo es que esto será igual al limite h(x) →  -2 y ¿desde qué dirección se aproxima a -2? Bueno,   se aproxima a -2 desde valores más grandes que  -2, h(x) está decreciendo hasta -2 cuando x → -1   desde la derecha, por lo tanto, nos aproximamos  desde valores más grandes que -2, y, bueno,   de g(h(x)), de g(h(x)). Vamos a ponerle el mismo código de color para que sea más fácil darle seguimiento.   Así que esto es análogo a decir ¿cuál es el  límite de g cuando x → -2 desde la derecha?   Aquí h es sólo la entrada de la función g, así  que la entrada de g se aproxima a -2 desde arriba,   desde valores más grandes que -2, desde la  derecha, y podemos ver que g se aproxima a 3,   así que esto de aquí será igual a 3. Ahora tomemos  el límite cuando x → -1 desde la izquierda de   g(h(x)). Bueno, primero podemos pensar ¿a qué  se aproxima h cuando x → -1 por la izquierda?   Cuando x → -1 desde la izquierda, parece que  h se aproxima a -3, así que podemos decir que   esto es igual al lim h(x) → -3, y observa: se  aproxima a -3 desde valores más grandes que -3,   es decir, h(x) se aproxima a -3 desde arriba  o desde valores más grandes que -3, de, bueno,   nos falta, g(h(x)). Otra forma de pensar en  esto es ¿cuál es el límite cuando la entrada   de g se aproxima a -3 desde la derecha? Bueno,  cuando nos aproximamos a -3 desde la derecha,   g está justo aquí en 3, así que de nuevo esto  será igual a 3. Entonces, observa: en este caso,   el límite por la derecha y el límite por la  izquierda son iguales a 3, y cuando el límite   por la derecha y el límite por la izquierda son  iguales, sabemos que el límite que buscábamos es   igual a ese valor, es igual a 3. Y este es  un ejemplo genial, ya que podemos decir que   el límite de la función interna h(x) no existe,  pero sí existe el límite de la función compuesta.