Teorema para los límites de funciones compuestas: cuando no se cumplen las condiciones

En un video anterior usamos este teorema para  evaluar ciertos tipos de funciones compuestas.  En este video haremos algunos  ejemplos un poco más complejos. Digamos que queremos calcular el límite a medida   que x se acerca a cero de  f de g de x, f de g de x.  En primer lugar, pausa este video y piensa  si este teorema se aplica en este caso. Bueno, primero hay que pensar en  cuál es el límite a medida que x   se acerca a cero de g de x para ver  si cumplimos esta primera condición. De modo que si nos fijamos en g de x, justo aquí  cuando x se acerca a cero desde la izquierda,   parece que g se acerca a 2, y cuando x se acerca a  cero desde la derecha, parece que g se acerca a 2.   Entonces esto va a ser igual a 2. Así que se cumple esta condición. Ahora veamos la segunda condición:  f es continua en ese límite en 2. Veamos: cuando x es igual a 2,  no parece que f sea continua.  No cumplimos esta segunda condición, por lo que  no podemos aplicar directamente este teorema. Pero, aunque no se puede aplicar el teorema,  eso no significa que el límite no exista.  Por ejemplo, en esta  situación el límite sí existe. Una manera de pensar en esto es que cuando  x se acerca a cero desde la izquierda,   parece que g se está acercando a 2 desde arriba,  por lo que ese va a ser el valor de entrada en f.   Entonces, si nos estamos acercando a 2 desde  arriba y ese es el valor de entrada en f,   parece que nuestra función se está acercando a  cero y entonces podemos ir en la otra dirección. Si nos acercamos a cero  desde la derecha, justo aquí,   parece que el valor de nuestra  función se acerca a 2 desde abajo.  Ahora, si nos acercamos a 2 desde abajo, parece  que el valor de f se está acercando a cero. Así que en ambos casos, el valor de  nuestra función f se está acercando a cero.  No puedo utilizar el teorema, pero puedo  saber que esto va a ser igual a cero. Ahora vamos a ver otro ejemplo.  Digamos que queremos calcular el límite a  medida que x se acerca a 2 de f de g de x. Pausa este video, bueno, primero  vamos a ver si el teorema se aplica.  Bien, primero queremos ver cuál es el límite  a medida que x se acerca a 2 de g de x. Cuando vemos que x se acerca a 2 desde la  izquierda, parece que g se acerca a menos 2.  Cuando nos acercamos a x igual a 2 desde la  derecha, parece que g se está acercando a cero. Así que los límites de la derecha  y de la izquierda no coinciden,   por lo que esto no existe, no existe y  por lo tanto no cumplimos esta condición,   de modo que no podemos aplicar el teorema. Pero como ya hemos visto, que no se pueda aplicar  el teorema no significa que el límite no exista.  Si te gusta reflexionar, te invito  a que veas que este límite no existe   haciendo un análisis muy similar al  que hicimos para el primer ejemplo.