Límites de funciones por trozos: valor absoluto

digamos que fx es igual al valor absoluto de x 3 sobre x 3 y bueno yo tengo curiosidad sobre el límite de fx mientras extiende a 3 de fx mientras se extiende a 3 y bueno con mirar esto tú puedes ver que la función no está definida cuando x es igual a 3 cierto obtiene 0 sobre 0 y eso no está definido entonces para contestar la pregunta que nos hicimos vamos a intentar reescribir esta función de una manera distinta pero bueno igual en cierta manera entonces digamos que fx será igual a pensar en dos casos aquí caso número uno x mayor que 3 lo escribo con otro color entonces dos casos x mayor que 3 y x menor que 3 entonces para el caso de x mayor que 3 a que se va a simplificar esto ok bueno lo que obtendrás tú aquí arriba será un número positivo y el valor absoluto actual tomar el valor absoluto de ese número positivo te lo va igual entonces para x mayor que 3 esto será lo mismo que x 3 sobre x 3 porque si x es un número mayor el numerador será positivo tomando el valor absoluto del numerador como es positivo no va a cambiar entonces podrías tú obtener lo puede reescribir de esta forma para x mayor que 3 f x será igual a 1 para x mayor que 3 similarmente pensemos en qué sucede cuando x es menor que 3 entonces cuando estamos en este caso x menor que 3 aquí x 3 será un número negativo y cuando tomas el valor absoluto entonces será el negativo de x menos tres el negativo de x menos 3 sobre x menos 3 lo cual se simplifica siempre y cuando x no sea 3 se simplifica a 1 entonces tenemos menos 1 como resultado de este segundo caso entonces menos 1 para x menor que 3 y de hecho hace el intento intenta con números 3.1 3.001 de 43.5 cualquier número mayor que 3 con eso obtendrás 1 lo mismo dividido entre lo mismo te da 1 inténtalo también con valores menores que 3 obtendrás menos 1 no importa qué valor sustituye por equis pero ahora hay que visualizar la función entonces digamos voy a dibujar aquí el eje de las equis y luego por supuesto no olvidemos el eje de las yes aquí está el eje de la yes esto es igual a fx y lo que nos interesa es x igual a 3 entonces tenemos 1 2 y 3 4 y 5 sigue y sigue y digamos que esto es 1 positivo 2 y acá tenemos -1 y -2 acá están sigue y sigue y reescribimos la función es la misma exactamente la misma función que está solo la reescribimos de distinta manera y lo que decimos es que nuestra función está indefinida en 3 pero si nuestras x son mayores que 3 nuestra función vale 1 entonces para x mayor que 3 nuestra función vale uno se mira así está indefinida en tres y si x es menor que tres nuestra función vale menos uno entonces lo voy a cambiar de color se mira de esta manera para x menor que 3 y una vez más está indefinida en 3 así que de esta manera se ve la gráfica entonces bueno ahora vamos a intentar responder nuestra pregunta inicial cuál es el límite de fx mientras x se aproxima a 3 y bueno pensemos en el límite de fx mientras se aproxima 3 desde el lado negativo o valores menores que 3 entonces primero pensamos en el límite mientras x se aproxima a 3 desde el lado y ahí está y fx aquí esta anotación de el signo menos significa que estamos pensando en el límite mientras x se aproxima desde el lado izquierdo entonces en este caso si empezamos con valores menores que 3 mientras nos acercamos más más y cada vez más nos supongamos que iniciamos en cero entonces fx es igual a menos 1 en 1 f x es igual a menos 1 en 2 f x es igual a también a menos 1 si estás en 2.99 1999 f x será igual a menos 1 entonces en este caso se aproxima menos 1 desde el lado izquierdo cuando nos aproximamos del lado izquierdo ahora pensemos en el límite de fx mientras x se aproxima a 3 pero desde el lado positivo desde valores mayores que 3 aquí vemos que cuando x es igual a 5 fm x es igual a 1 cuando x es igual a 4 f x es igual a 1 cuando x es igual a 3.000 01 efe x es igual a 1 entonces bueno tal parece ser que se aproxima uno en este otro caso como puedes ver aquí hay algo raro cierto hay algo raro porque parece que nos estamos aproximando a dos valores distintos si nos aproximamos desde la izquierda o nos aproximamos de la derecha o bueno si nos estamos aproximando a dos valores distintos entonces en este caso el límite no existe por lo tanto el límite no existe otra manera de decir esto es que el libro no lo voy a poner mejor en otro color porque yo voy a usar el naranja entonces aquí tengo una idea el límite de una función f x mientras x se aproxima a un valor sen es igual a l y solamente si el límite de fx mientras x se aproxima a c desde el lado negativo es igual al límite de fx mientras x se aproximase desde el lado positivo es igual a l pero aquí no ocurrió eso porque aproximándonos desde la izquierda era menos 1 y aproximándonos desde la derecha era 1 positivo por lo tanto no tuvimos el mismo límite aproximándonos por los lados entonces el límite no existe