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Transcripción del video

veamos si podemos encontrar el límite cuando x tiende a -1 de x1 entre la raíz cuadrada de x + 5 ya esto le quitamos 2 y bueno tal vez nuestra primera reacción podría ser bien vamos a usar algunas de las propiedades de los límites para trabajar este límite que tengo aquí y decir esto es lo mismo que tomarme el límite el límite cuando x tiende al menos uno de mx1 esto a su vez dividido todo esto a su vez dividido entre el límite cuando x 30 menos 1 de la parte de abajo que es la raíz cuadrada de x 5 ya esto le quitamos 2 y bueno luego podríamos decir la gráfica de la función de igual a x1 es continua en todos lados especialmente en x igual a menos 1 entonces para evaluar este límite solamente tendríamos que evaluar esta expresión en menos 1 así que este numerador simplemente me quedaría como menos uno más uno cuando hacemos esta evaluación y ahora qué pasa con la parte de abajo bueno en nuestro denominador la función raíz de x más 5 menos 2 no es continua en todos lados pero si es continua en x igual a menos 1 entonces podemos hacer lo mismo podemos simplemente sustituir el valor de menos 1 y me quedaría la raíz cuadrada menos 15 menos uno más 5 - 2 muy bien ahora aquí es igual todo esto bueno el numerador tendríamos menos uno más uno lo cual es simplemente cero y en el denominador tendríamos menos 154 la raíz principal de 42 menos 2 bueno también me dan 0 entonces tenemos la forma 0 sobre 0 ahora cuando tú ves esto podría estar tentado a rendirte decir hay un cero en el denominador y tal vez este límite no existe ya terminé aquí o qué hago pero ojo si arriba tienes algo distinto de cero en el numerador estás obteniendo un valor diferente de cero que a su vez estaría dividido el 30 en este caso si tendríamos algo indefinido en su límite no existirían pero cuando tienes esta forma cero entre cero esto es una forma indeterminada no significa necesariamente que su límite no existe y como veremos en este vídeo y en algunos próximos hay algunas herramientas a nuestra disposición para abordar este tipo de casos y hoy vamos a ver una de esas herramientas la herramienta que vamos a ver es otra manera de escribir esta expresión que tengo aquí para así poder evaluar este límite sin obtener cero entre cero y lo que vamos a hacer es básicamente tomar esta expresión que tengo aquí y primero ponerle un nombre vamos a decir que gtx es esto que tengo aquí gx es la función déjame ponerlo es la función x + 1 esto a su vez dividido dividido entre la raíz de x 5 - 2 y la forma en la que estoy definiendo a gtx es para que te des cuenta de una manera más clara que es una función y por lo tanto podemos manipularla y pensar en funciones similares y lo que queremos encontrar es el límite cuando x tienda menos 1 deje de x ahora la técnica que vamos a usar es cuando tienen una forma indeterminada y si tienen una raíz cuadrada en cualquiera ya sea en el denominador o en el numerador entonces puede ayudarnos bastante deshacernos de esa raíz cuadrada y esto a menudo es llamado racionalizar la expresión en este caso tienen una raíz cuadrada en el denominador entonces podemos racionalizar el denominador y la manera en la que lo haríamos es aprovechando nuestro conocimiento de la diferencia de cuadrados porque nosotros sabemos que si tomamos aa + b a esto lo multiplicamos a su vez por a menos bueno de la multiplicación de estos dos obtengo a cuadrado menos b cuadrada y seguramente lo aprendiste en álgebra hace algún tiempo o en este caso si tenemos no sé la raíz cuadrada de a esto más b ya esto lo multiplicamos por la raíz cuadrada de a menos b bueno pues en este caso que me quedaría me quedaría bueno aquí tengo la raíz cuadrada de am al cuadrado lo cual es simplemente am y después tengo el cuadrado el segundo lo cual sería menos el cuadrada así que vamos a intentar usar esta información que tengo aquí para poder racionalizar esta expresión y para eso qué te parece si multiplicamos a esta expresión que tengo aquí déjame ponerlo quiero multiplicar a esta expresión que tengo aquí por quién bueno voy a multiplicar la parte de abajo por la raíz cuadrada de x 5 + 2 porque aquí tenemos menos 2 y ahora necesitamos más 2 para poder llegar a algo de este estilo entonces voy a multiplicar abajo por la raíz cuadrada de x + 5 y esto más 2 muy bien y el numerador lo voy a multiplicar por lo mismo porque no queremos cambiar el valor de la expresión entonces si pongo aquí la raíz cuadrada de x más 5 ok ya esto le sumamos 2 observa que lo que estoy haciendo es multiplicar por 1 porque esto de aquí es 1 por lo tanto si tenemos esta expresión dividida entre la misma expresión va a ser 1 al multiplicarlo por esto no se afecta pero ahora sí que me quedaría de multiplicar estos dos y entonces nos quedaría que esto es igual a bueno arriba tengo x + 1 que multiplica a su vez a esto que tengo aquí que es la raíz x 5 ok ya esto le sumamos 2 y en la parte de abajo que me va a quedar bueno si observas lo que me va a quedar es lo siguiente siguiendo esta lógica de aquí me queda am que es esta expresión que tengo aquí sin la raíz x más 5 ya esto le quitamos 4 ahora bien x 5 menos 4 esto es lo mismo que x + 1 entonces a esto lo podemos dividir en 3 x 1 y seguramente te va a saltar que aquí tenemos a x + 1 multiplicando ya x + 1 dividiendo así que estos dos los puedo cancelar y me quedaría simplemente con la raíz de x + 5 esto a su vez le sumamos 2 ahora bien algunos de ustedes podrían estarse sintiendo un poco perdidos y estarían en lo correcto su sentido común pensaría esto de aquí y esto de aquí es en definitiva lo mismo que esto de aquí es decir esta expresión antes de cancelar el x + 1 y la respuesta es que en la forma en la que lo escribí no es exactamente lo mismo es exactamente lo mismo en todos lados excepto en x igual a menos 1 esta cosa de aquí está definida en x igual a menos 1 mientras que esto de aquí no está definida en x igual a menos 1 al igual que en 7 x 7 x no obtiene un buen resultado cuando evaluamos a x con el valor de menos 1 así que para quitarnos este problema y con el fin de que sean exactamente las mismas funciones tenemos que decir que funcionan para todas x que no sea x igual a menos 1 para x distinta de menos 1 ahora esto de aquí es una versión reducida de gx para cualquier entrada de x en la que gtx esté definida esto va a darles la misma salida y ahora es exactamente el mismo dominio porque hemos puesto esta restricción de aquí y bueno tal vez ahora podrían decir cómo nos ayuda a esto y bueno tal vez es hora de pensar cómo nos va a ayudar esto ya que tenemos que encontrar el límite cuando x es igual a menos 1 e incluso aquí tuve que poner esta restricción de que x no puede ser igual a menos 1 entonces como planteamos este límite bien por suerte sabemos que si tomamos otra función que voy a llamar f x y vamos a definir a esta función efe de x f x como y me voy a tomar a esta función f x como la raíz x + 5 + 2 es decir la misma función solamente que si la restricción para todas las x distintas de menos 1 y entonces por suerte sabemos que en fx efe x esto es igual a gdx ag de x si contamos esta restricción para para todas x todas x distinta de menos 1 ahora bien ya que fx tiene esa restricción entonces para cualquier otro valor se cumple esta igualdad eso quiere decir que el límite cuando x tiende a menos 1 de esta función efe x va a ser igual al límite cuando x tiende a menos 1 de esta función g de x que por supuesto recuerda que esto es lo que queremos encontrar es el principio del problema pero ahora aquí podemos usar a fx porque solamente en x igual a menos 1 no son iguales si fueras a gráfica gtx tendrá la misma gráfica que fx excepto que tiene un punto discontinuo en x igual a menos 1 entonces cuál es este límite de fx o podríamos decir el límite cuando x tiende a menos uno de estos de aquí de la raíz de x + 5 ya esto le sumamos dos ahora bien esta expresión de kim es continua en x igual a menos 1 así que podemos evaluarla en ese valor y obtendríamos lo siguiente este límite va a ser igual a la raíz voy a sustituir a x por menos 1 me va a quedar menos 1 + 5 + 2 ahora am esto de aquí es la raíz cuadrada de 4 y la raíz principal de 4 es 2 así que esto de aquí me quedaría exactamente igual que 4 y qué creés éste es el límite que estábamos buscando el límite de gtx porque al ser el límite de fx también es el límite deje de x y ya está aunque si este paso último que hice no tiene mucho sentido para ti lo puedes pensar también de una manera visual si dibujo por aquí unos ejes déjame dibujar por acá un par de ejes este voy a decir qué en mi eje game y por aquí me tomo mi eje x supongamos que es este de aquí déjame ponerlo este es mi eje y este es mi eje x entonces esta función fx se va a ver más o menos así se va a ver más o menos así más o menos así es como esta función que tengo aquí pero si ahora te fijas en gdx es exactamente igual que esta función solamente que tienes un hueco en x igual a menos 1 así que déjame ponerlo con este color tienes esta misma función solamente que aquí tienes un hueco y la función sigue exactamente igual mientras que en fx no tendríamos este hueco entonces si estás tratando de encontrar el límite me parece completamente razonable usar a efe de x que sí tiene este valor recuerda fx si tiene este valor vamos a usar a esa función para ver dónde caería este punto de aquí en x igual a menos 1 vamos a usar fx para rellenar este hueco en x igual a menos 1 y bueno espero que este ejemplo gráfico te haya ayudado un poco para entender que es lo que está pasando con estos dos límites y si no te ayuda mucho y te confunden mejor ignorarlo
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