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Transcripción del video

veamos si podemos encontrar el límite cuando extiende a -1 de x + 1 entre la raíz cuadrada de x + 5 ya esto le quitamos 2 y bueno tal vez nuestra primera reacción podría ser bien vamos a usar algunas de las propiedades de los límites para trabajar este límite que tengo aquí y decir esto es lo mismo que tomarme el límite el límite cuando x tienda -1 de x + 1 esto a su vez / todo esto su vez dividido entre el límite cuando x tienda -1 de la parte de abajo que es la raíz cuadrada de x + 5 ya esto le quitamos 2 y bueno luego podríamos decir la gráfica de la función ye igual a x no sólo es continua en todos lados especialmente en x igual a menos uno entonces para evaluar este límite no solamente tendremos que evaluar esta expresión en -1 así que éste numerador simplemente me quedaría como menos uno más uno cuando hacemos esta evaluación y ahora qué pasa con la parte de abajo en nuestro denominador la función raíz de x + 5 minutos no es continua en todos lados pero sí es continúa en x igual a menos uno entonces podemos hacer lo mismo podemos simplemente sustituir el valor de menos uno y me quedaría la raíz cuadrada de menos 1,5 menos uno más 5 - 2 muy bien ahora a que es igual todo esto el numerador tendríamos menos uno más uno lo cual es simplemente cero y en el denominador tendríamos menos uno más 534 la raíz principal de 42 2 - 2 bueno también me dan a 0 entonces tenemos la forma 0 sobre pero ahora cuando tú ves esto podría estar tentado a rendirte decir hay un cero en el denominador y tal vez este límite no existe ya termine aquí o que hago pero ojo si arriba tienes algo distinto de cero en el numerador estás obteniendo un valor diferente de cero que a su vez estaría dividido el 30 en ese caso sí tendríamos algo indefinido y su límite no existirían pero cuando tienes esta forma cerró en 3 0 esto es una forma indeterminada no significa necesariamente que sus límites no existen y como veremos en este vídeo y en algunos próximos hay algunas herramientas a nuestra disposición para abordar este tipo de casos y hoy vamos a ver una de esas herramientas la herramienta que vamos a ver es otra manera de escribir esta expresión que tengo aquí para así poder evaluar este límite sin obtener 0 entre cero y lo que vamos a hacer es básicamente en tomar esta expresión que tengo aquí y primero ponerle un nombre vamos a decir qué gdx es esto que tengo aquí gdx es la función o déjame ponerlo es la función x + 1 esto a su vez / / / la raíz de x + 5 -2 y la forma en la que estoy definiendo a gdx es para que te des cuenta de una manera más clara que es una función y por lo tanto podemos manipular la amb y pensar en funciones similares y lo que queremos encontrar ese límite cuando existen al menos uno deje de x ahora la técnica que vamos a usar es cuando tienen una forma determinada y si tienen una raíz cuadrada en cualquiera ya sea en el denominado oro en el numerador entonces puede ayudarnos bastante deshacernos de esa raíz cuadrada y esto a menudo el llamado racionalizar la expresión en este caso tienen una raíz cuadrada en el denominador entonces podemos racionalizar el denominador y la manera en la que lo haríamos es aprovechando nuestro conocimiento de la diferencia de 4 2 porque nosotros sabemos que si tomamos a amd más bem ya esto lo multiplicamos a su vez por am - bem bueno de la multiplicación de estos dos obtengo a cuadrada - b cuadrada y seguramente lo aprendiste en álgebra hace algún tiempo o en este caso sí tenemos no sea la raíz cuadrada de a esto más b ya esto lo multiplicamos por la raíz cuadrada de a - b bueno pues en este caso que me quedaría me quedaría aquí tengo la raíz cuadrada de amd al cuadrado lo cual es simplemente am y después tengo el cuadrado el segundo lo cual sería menos ver cuadrada así que vamos a intentar usar esta información que tengo aquí para poder racionalizar esa expresión y para eso qué te parece si multiplicamos a esta expresión que tengo aquí me poner lo que multiplicar a esta expresión que tengo aquí por quién bueno voy a multiplicar la parte de abajo por la raíz cuadrada de x + 5 +2 porque aquí tenemos menos dos y ahora necesitamos más dos para poder llegar a algo de este estilo entonces fue multiplicada abajo por la raíz cuadrada de x + 5 y stop +2 muy bien y el numerador lo voy a multiplicar por lo mismo porque no queremos cambiar el valor la expresión entonces sí pongo aquí la raíz cuadrada de x + 5 ok ya esto le sumamos dos observa que lo que estoy haciendo es multiplicar por 1 porque esto de aquí es uno por lo tanto si tenemos esa expresión dividida entre la misma expresión va a ser uno y al multiplicarlo por esto no se afecta pero ahora sí que me quedaría de multiplicar estos dos y entonces nos quedaría que esto es igual a bueno arriba tengo x + 1 que multiplica su vez a esto tengo aquí que es la raíz de x + 5 ok ya esto le sumamos dos y en la parte de abajo que me va a quedar bueno si observas lo que me va a quedar es lo siguiente siguiendo esta lógica de aquí me queda am qué es esta expresión que tengo aquí sin la raíz x + 5 ya esto le quitamos 4 ahora bien x + 5 - 4 esto es lo mismo que x + 1 entonces a esto lo podemos dividir entre x + 1 y seguramente va a saltar que aquí tenemos a x + 1 multiplicando y ax +1 dividiendo así que estos dos pudo cancelar y me quedaría simplemente con la raíz de x + 5 esto a su vez le sumamos dos ahora bien algunos de ustedes podrían estarse sintiendo un poco perdidos y estarían en lo correcto su sentido común pensar y a esto un de kyb esto de kim es en definitiva lo mismo que esto de aquí es decir esta expresión antes de cancelar el x + 1 y la respuesta es que en la forma en la que lo escribí no es exactamente lo mismo es exactamente lo mismo en todos lados excepto en x igual a menos un esta cosa de aquí está definida en x igual a menos uno mientras que estás aquí no está definida en x igual a menos uno al igual que gdx gdx no obtiene un buen resultado cuando evaluamos a x con el valor de menos uno así que para quitarnos este problema y con el fin de que sean exactamente las mismas funciones tenemos que decir que funcionan para todas x que no sea x igual a menos uno entonces para x distinta de -1 ahora esto de kim una versión reducida de gdx para cualquier entrada de x en la que gdx esté definida esto va a darles la misma salida y ahora es exactamente el mismo dominio porque hemos puesto esta restricción de aquí y bueno tal vez ahora podrán decidir cómo nos ayuda a esto y bueno tal vez es hora de pensar cómo nos va a ayudar esto ya que tenemos que encontrar el límite cuando x es igual a menos uno e incluso aquí tuve que poner esta reflexión de que x no puede ser igual a menos uno entonces cómo planteamos este límite bien por suerte sabemos que si tomamos otra función que voy a llamar fd x y vamos a definir a esta función fx fx como y me voy a tomar a esta función fx como la raíz de x más cinco más dos es decir la misma función solamente que si la restricción para todas las x distintas de -1 y entonces por suerte sabemos que fx fx esto es igual a gdx a gdx si contamos esta restricción para para todas x todas x distinta de -1 ahora bien ya que fede x tienen esa restricción entonces para cualquier otro valor se cumple esta igualdad eso quiere decir que el límite cuando x tienden a -1 de esta función fx va a ser igual al límite cuando x tiende a -1 de esta función g de x que por supuesto recuerda que esto es lo que queremos encontrar el principio del problema pero ahora aquí podemos usar a efe de x porque solamente en x igual a menos uno no son iguales si fueras a graficar gdx tendrá la misma gráfica que fx excepto que tiene un punto discontinuo el x igual a menos uno entonces cuál es este límite de fx o podríamos decir el límite cuando x tiende a menos uno de estos aquí de la raíz de x + 5 ya esto le sumamos dos ahora bien esta especie de kim es continúan en x igual menos uno así que podemos evaluar la en ese valor y obtendremos lo siguiente este límite no va a ser igual a la raíz voy a sustituir a x x menos uno me va a quedar menos uno más 5 +2 ahora am estoy aquí es la raíz cuadrada de cuatro y la raíz principal de 432 así que estoy aquí me quedaría exactamente igual que cuatro y qué crees éste es el límite que estábamos buscando el límite de gdx porque al ser el límite de fx también es el límite de gdx y ya está aunque si este paso último que hice no tiene mucho sentido para ti lo puedes pensar también de una manera visual y dibujo por aquí unos ejes déjame dibujar por acá un par de ejes esté voy a decir que es mi eje jem y por aquí me tomo mi eje x supongamos que se esté aquí déjame ponerlos este es mi heyaime y éste es mi eje x entonces esta función fx se va a haber más o menos así se va a haber más o menos así más o menos así es como esta función que tengo a kim pero si ahora te fijas en gdx es exactamente igual que ésta funciona solamente que tienes un hueco en x igual a menos uno así que déjame ponerlo con este color tienes esta misma función solamente que aquí tienes un hueco y la función a sigue exactamente igual mientras que el fdp x no tendríamos este hueco entonces si estás tratando de encontrar el límite me parece completamente razonable usar a efe de que es que si tiene este valor recuerda que fx si tiene este valor vamos a usar a esa función para ver dónde caería este punto de aquí en x igual a menos uno vamos a usar a efe de x para rellenar ese hueco en x igual a menos 1 y bueno espero que este ejemplo gráfico que haya ayudado un poco para entender qué es lo que está pasando con estos dos límites y si no te ayuda mucho y te confunden mejor ignora lol
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