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El límite de una función trigonométrica por medio de la identidad del ángulo doble

Transcripción del video

veamos si podemos encontrar el límite cuando teta atiende a menos pi cuartos de uno más la raíz de dos por el seno de teta entre el coseno de dos tetas y como siempre traten de darse la oportunidad antes de que lo hagamos juntos bien solo digamos que esto va a ser lo mismo que el límite cuando theta tiende a menos pi cuartos de uno más la raíz de dos por el seno de teta entre el límite cuando teta atiende a menos pi cuartos del concepto de dos teta y ahora puedes ver que ambas expresiones si fueran definiciones de funciones o si tuviéramos que graficar el de igualdad uno más la raíz de dos por el seno de teta oye igual algo se 92 teta obtendríamos funciones continuas especialmente ente está igual a menos pi cuartos así que podríamos simplemente sustituir y decir que esto va a ser igual a la expresión evaluada en menos pi cuartos entonces me quedaría uno más la raíz de dos por el seno de menos pi cuartos todo esto dividido entre el coseno de dos veces menos pi cuartos ahora bien el seno de menos pi cuartos va a ser menos raíz de 2 entre 2 esto porque estamos en radiales si estuviéramos pensando en grados esto sería un ángulo de menos 45 grados y este es uno de los valores trigonométricos que es bastante bueno conocer entonces esto va a ser igual a uno más la raíz de dos por esto por menos la raíz de dos entre dos y entonces esto me va a quedar igual a uno y después observan tengo la raíz de dos x menos la raíz de dos entre dos eso es lo mismo que menos dos entre dos lo cual es igual a menos uno entonces todo esto se reduce a menos uno y ahora pensemos qué pasa abajo tengo el coche no de menos pri medios porque dos por menos pi cuartos es lo mismo que menos pri medios que si pensamos en grados serían menos 90 grados el coseno de eso va a ser cero así que al final terminamos con una expresión de la forma cero entre 0 0 entre 0 y como lo platicamos anteriormente si obtenemos un número distinto de 0 entre 0 entonces decimos ok eso es indefinido pero en este caso cuando tenemos algo de la forma 0 entre 0 significa que tienes un límite indeterminado y eso no significa que el límite no existe la clave aquí es usar algunas de nuestras herramientas que hemos construido para manipular esta expresión y obtener una expresión que tal vez esté definida en theta igual a menos pi cuartos así que déjame manipular esta expresión un poco si tengo uno más la raíz de dos por el seno de teta esto a su vez dividido entre el coseno de dos teta entonces seguramente puedes imaginar que las cosas que nos resultarán bastante útiles en este límite van a ser las identidades trigonométricas esta vez en particular vamos a fijarnos en cosenos de dos tetas sabemos que el coche no de dos tetas eso es lo mismo que el coseno cuadrado de teta menos el seno cuadrado de teta que a su vez es igual a uno menos dos veces el seno cuadrado de teta que por cierto también es igual a dos veces el coseno cuadrados de teta menos uno y puedes ir de esta a están a están simplemente usando la identidad pitagórica la cual hemos probado y usado en muchísimos vídeos en la selección de trigonometría ante la canaca de min ahora la pregunta sería algunas de estas expresiones parece útil bueno observa que estas tres son diferencias de cuadrados así que podemos factorizar las de diferentes formas y tal vez puedas pensar en una forma de factorizar algunas de estas expresiones que nos ayude a cancelar algo para quitar este cero entre 0 ahora si yo ahora escribo con senos de dos teta de alguna manera que pueda involucrar a uno más la raíz de dos por el seno de teta entonces estaría muy bien y de hecho observan que uno menos dos veces el seno cuadrado de teta esto es exactamente lo mismo que uno más la raíz cuadrada de dos por el seno de teta que multiplica su vez a uno menos la raíz cuadrada de dos por el seno de teta así que déjame usarlo coseno de dos tetas esto es igual a uno menos dos veces el seno cuadrado de teta lo cual es una diferencia de cuadrados es decir a cuadrada más b cuadrada eso es igual a b x a menos b y entonces me quedaría uno más la raíz de dos por el seno de teta que a su vez multiplica a uno menos la raíz de dos por el seno de teta y ahora tenemos algo que potencialmente se puede cancelar este se cancela con este y nos quedaría es simplemente uno entre uno menos la raíz de dos por el seno de teta si quieres que estas dos expresiones sean iguales siguiendo la idea de una definición de función entonces tienen que tener el mismo dominio y bueno esta expresión ya habíamos visto que no estaba definida para theta igual a menos pi cuartos entonces esta nueva función para pedirle que sea equivalente le debemos de poner la misma restricción y no sólo en ese valor tal vez hay otros pero por ahora trabajaremos solamente con la idea de que teta no puede ser igual a menos pi cuartos y si quieres ser muy preciso puedes pensar que sólo estamos trabajando en un intervalo abierto alrededor de teta igual a menos pi cuartos sobre todo para este caso particular es más déjame escribirlo estamos pensando en el intervalo abierto en el intervalo abierto se me ocurren menos 11 y creo que ese intervalo cubre bastante bien a menos pi cuartos porque si tenemos por ejemplo plan pi cuartos bueno eso no nos dará la forma 0 entre 0 aunque en pi cuartos haga este denominador 0 pero también este otro 20 así que creo que tomarnos este intervalo está bien tomarnos el límite cuando te estás se aproxima algo en este intervalo abierto y quiero ser muy preciso porque estoy intentando explicar esto muy bien pero obviamente si tú estás en un examen o en tu libreta entonces no te tomes tantos problemas no es necesario poner todas estas advertencias entonces lo que vamos a hacer ahora es pensar en el límite cuando te te atienden a menos que cuartos de bueno esta vez 1 entre 1 - la raíz de 2 por el seno de teta seguimos trabajando en este intervalo abierto pero ahora estamos en la otra restricción ahora observa que esta función que tengo aquí es continua y está bien definida para theta igual a menos pi cuartos entonces esto simplemente será sustituir este valor en esta función y me quedaría 1 entre 1 menos la raíz de 2 por el seno - para cuartos y como ya habíamos mencionado antes el seno de menos cuartos es lo mismo que menos raíz de 2 sobre 2 entonces esto será igual a 1 entre 1 y bueno observa que menos raíz de 2 por menos raíz de 2 entre 2 eso es lo mismo que menos entre menos me dio el signo positivo y después tengo raíz de dos por raíz de 2 esos 2 entre 2 es 1 así que esto me queda 1 entre 1 más 1 lo cual es simplemente un medio y quiero ser muy claro en esto esta expresión no es la misma que esta otra expresión podemos decir que estas dos expresiones son iguales para todos los valores de de tam excepto ente está igual a menos pi cuartos ya que en ésta no está definido y en esta sí lo están pero como hemos visto anteriormente si encontramos una función que es igual a la original para todos los valores de teta excepto en teta igual a menos pi cuartos es decir donde la función original no está definida en un cierto punto pero función si lo están y además es continúa justo ahí entonces estos dos límites serán iguales entonces si este límite es igual a un medio eso quiere decir que el otro límite también será igual a un medio y como he dicho en varios vídeos tal vez estemos tentados a decir manipulamos algebraica mente esto y de alguna manera llegamos a esta expresión y no me importan todas estas restricciones sólo lo hago y sustituyó el valor de teta igual a menos pi cuartos y ya está lleva a la respuesta pero ojo aunque esta es la respuesta correcta es importante reconocer que esta expresión y esta otra no son lo mismo y entender que la razón correcta del porqué llegamos a la respuesta es la siguiente si tenemos dos funciones dije iguales para todas x iguales para todas x excepto en x iguala a am déjame ponerlo excepto en exigua la anp y efes continúan am eso también es muy importante y efes continúa en am entonces déjame escribirlo así el límite cuando existen de a a de fx va a ser igual al límite cuando x tiende a esa misma a deje de x y es justo lo que estamos diciendo aquí y además ya tenemos que la respuesta es un médium así que puedo decir que ya hemos terminado
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