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El límite de una función trigonométrica por medio de la identidad pitagórica

Transcripción del video

veamos si podemos encontrar el límite cuando teta tiende a 0 de 1 - el coche no detecta entre dos veces el seno cuadrado de teta y como siempre pausa en el vídeo y ver si pueden resolver esto bien tal vez nuestra primera intención sea decir que esto es lo mismo que el límite cuando teta tiende a cero de 1 - el coche no detecta entre el límite cuando te sientas 0 de dos veces el seno cuadrado de teta ahora estas dos expresiones que podrían ser usadas para definir una función van a ser continuas y se grafican iban a ser continuas entre está igual a cero entonces el límite va a ser lo mismo que solo evaluarlas ente está igual a cero entonces esto va a ser igual a uno menos el coche no de cero entre dos veces el seno cuadrado de cero ahora coseno de cero es uno y uno menos 10 y abajo me quedaría el seno de cero lo cual es cero al elevado al cuadrado y multiplicarlo por dos vas a seguir obteniendo cero entonces tenemos este caso donde llegamos a 0 sobre 0 y una vez más tenemos esta forma indeterminada y lo importante es que esta forma indeterminada cuando tenemos 0 entre 0 no significa que aquí nos rendimos no significa que el límite no existe sólo significa que tal vez haya otras formas para trabajar este límite si tenemos un número diferente de 0 dividido entre 0 entonces si hay diríamos que límite no existen pero en este caso vamos a ver qué podemos hacer para tal vez plantear esta expresión de una forma diferente entonces digamos que esto de aquí es fx le voy a poner ese nombre fx es igual a 1 menos el coche no detectan esto a su vez dividido entre dos veces el seno cuadrado de teta y veamos si podemos escribirlo de alguna manera en la cual el límite cuando teta tiende a cero no vaya a ser cero entre cero y bueno aquí tenemos algunas funciones trigonométricas así que tal vez podamos usar nuestras identidades trigonométricas para reducir y lo que me llama la atención es que abajo tenemos el seno cuadrado de teta y sabemos una identidad pitagórica en trigonometría que sale directo de la definición del círculo unitario que usa el seno y al coce no sabemos que el seno cuadrado de teta más el coche no cuadrado de teta eso es lo mismo que uno o sabemos dicho de otra manera que el seno cuadrado de teta es igual a 1 - el coseno cuadrado de teta entonces esto es igual a am y déjame escribirlo 1 - el coche no detecta entre dos veces 1 - el coseno cuadrado de teta porque eso es lo mismo que el seno cuadrado de teta y tal vez te salte que uno menos en nueve teta y el uno menos coste no cuadrado de teta se pueden manipular de tal manera que nos ayude a reducir un poco esta expresión si te das cuenta esto se puede ver como una diferencia de cuadrados la parte de abajo es lo mismo que a cuadrada menos b cuadrada porque sabemos que esto se puede factorizar como a más b v entonces esto sería igual a 1 - el coche no detecta esto a su vez dividido entre 2 uno más el coche no detecta que a su vez multiplica a uno menos el coche beteta y ahora esto es muy interesante porque tengo uno menos el coche no detecta en el numerador y tengo uno menos costes 9 teta en el denominador y tal vez estemos muy tentados a decir bueno vamos a cancelar este con este y reduciremos y tendremos simplemente uno en tren y tengo dos que multiplicamos a uno más el coste 9 tan bueno son lo mismo que dos más dos veces el coche no de teta y podremos pensar estas dos expresiones son realmente lo mismo y es casi correcto ya que fx de kim está definida cuando teta es igual a cero mientras que ésta no está definida cuando teta es igual a cero cuando teta es igual a cero tenemos un cero en el denominador y entonces lo que necesitamos para que estas dos expresiones sean iguales es decir que eta debe de ser distinta de cero pero ahora vamos a pensar de nuevo en el límite esencialmente lo que queremos hacer entrar el límite cuánto te está 30 0 de fx y no podemos sólo hacer una sustitución directa si en realidad lo tomamos seriamente porque podremos decir si trato de poner el 0 aquí hay dice que teta no puede ser 0 entonces fx no está definida a 0 pero ten cuidado porque esta expresión si está definida en 0 pero por otra parte esto nos dice que no deberíamos aplicar el 0 a esta función así que sabemos que podemos encontrar otra función que sí esté definida en 0 y que sea exactamente igual fd x excepto en 0 pero lo que voy a hacer es que esta nueva función si sea continua en 0 entonces podemos decir que gtx va a ser igual a 1 entre 2 más 2 veces el coche no de teta y luego sabemos que este límite va a ser exactamente lo mismo que el límite cuando teta tiende a 0 dgt x de nuevo estas dos funciones son idénticas excepto que fx no está definida en teta igual a 0 mientras que ge de x sí lo están los límites cuando teta tiende a cero van a ser los mismos y lo hemos visto en varios de los vídeos anteriores y sé que muchos de ustedes están pensando porque no solo hacer un poco de álgebra kim cancelar esto de camps sustituir a theta por cero y acabar bien podrían hacer eso estoy seguro que así obtendrá la respuesta pero es importante aclarar matemáticamente lo que estás haciendo yo sé que se cancelan este con este si haces esto la expresión de repente se vuelve definirán 0 y eso es porque estás lidiando con una expresión diferente o una definición de una función diferente así que para aclarar si quieren decir que esta es la función de la que están buscando el límite deben de poner esta restricción para asegurarse de que tienen exactamente el mismo dominio pero para nuestra suerte podemos decir que si tuviéramos otra función que fuera continua en ese punto es decir que no tuviera un hueco ahí entonces los límites serían equivalentes y ahora si el límite cuando te traten de hacer o deje de x igual y ya que es continua en 0 podemos sustituir 70 es igual a 1 entre dos más dos veces el coste no de cero pero el coste no es cero es 1 entonces me queda uno entre dos más dos déjame ver si estamos bien uno entre dos más dos veces el coste no de cero eso es lo mismo que a uno entre dos más dos lo cual es lo mismo que un cuarto y qué creés hemos terminado
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