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Estrategia para encontrar límites

Hay muchas técnicas para encontrar límites que aplican en diversas condiciones. Es importante conocer estas técnicas, pero también es importante saber cuándo aplicar cuál de ellas.
Aquí está un diagrama de flujo práctico para ayudarte a calcular límites.
Un diagrama de flujo tiene opciones de la A a la H como sigue. Paso A, sustitución directa. Trata de evaluar la función directamente. Evaluar f de a nos lleva a las opciones B a D. Opción B: f de a = b dividida entre 0, donde b es diferente de cero. El resultado es (probablemente) una asíntota. Ejemplo: el límite de inicia fracción 1 dividido entre x menos 1 termina fracción conforme x tiende a 1. Inspecciona con una gráfica o una tabla para aprender más acerca de la función en x = a. Opción C: f de a = b, donde b es un número real. El resultado es que (probablemente) se encuentra el límite. Ejemplo: límite de x al cuadrado conforme x tiende a 3 = 3 al cuadrado = 9. Opción D: f de a = 0 dividido entre 0. El resultado es una forma indeterminada. Ejemplo: límite de inicia fracción x al cuadrado menos x menos 2 dividido entre x al cuadrado menos 2 x menos 3 termina fracción, conforme x tiende a menos 1. Si obtuviste la opción D, intenta volver a escribir el límite en una forma equivalente. Esto nos lleva a las opciones E a G. Opción E: factorizar. Ejemplo: límite de inicia fracción x al cuadrado menos x menos 2 dividido entre x al cuadrado menos 2 x menos 3 termina fracción, conforme x tiende a menos 1 se puede reducir al límite de inicia fracción x menos 2 dividido entre x menos 3 termina fracción conforme x tiende a menos 1 al factorizar y cancelar. Opción F: conjugados. Ejemplo: el límite de inicia fracción inicia raíz cuadrada x termina raíz cuadrada menos 2 entre x menos 4 termina fracción conforme x tiende a 4 se puede volver a escribir como el límite de inicia fracción 1 dividido entre inicia raíz cuadrada x termina raíz cuadrada + 2 termina fracción conforme x tiende a 4, al usar conjugados y cancelar. Opción G: identidades trigonométricas. Ejemplo: límite de seno de x entre seno de 2 x conforme x tiende a 0 se puede volver a escribir como el límite de inicia fracción 1 dividido entre 2 coseno de x termina fracción conforme x tiende a 0, al usar identidades trigonométricas. Al usar las opciones E a G, intenta evaluar el límite en su nueva forma, regresando a A, la sustitución directa. La última opción es H, aproximación: cuando todo lo demás falla, las gráficas y las tablas pueden ayudar a aproximar los límites.
Punto clave #1: la sustitución directa es el método a usar. Solo si este no funciona intenta usar otros métodos, de lo contrario probablemente harás más trabajo de lo necesario. Por ejemplo, factorizar una expresión en una forma más simple implicaría un trabajo extra si es que la sustitución directa funcionara sin necesidad de la factorización.
Punto clave #2: hay una gran diferencia entre obtener b, slash, 0 y 0, slash, 0 (donde b, does not equal, 0). Cuando tienes b, slash, 0, esto indica que el límite no existe y probablemente no está acotado (asíntota). En contraste, obtener 0, slash, 0, indica que no tienes suficiente información para determinar si existe o no el límite, por eso se llama la forma indeterminada. Si llegas a este punto, tienes más trabajo que hacer, y es aquí donde la parte de abajo del diagrama de flujo entra en juego.
Nota: hay un poderoso método para encontrar límites llamado "la regla de l'Hôpital", que aprenderás más adelante. No lo abarcamos aquí porque aún no hemos aprendido acerca de las derivadas.

Práctica con sustitución directa

problema 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, square root of, x, plus, 5, end square root, minus, 3, end fraction
Queremos encontrar limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
¿Qué pasa cuando usamos sustitución directa?
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Problema 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Queremos encontrar limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
¿Qué pasa cuando usamos sustitución directa?
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Práctica con la forma indeterminada

Problema 3
Justin intentó encontrar limit, start subscript, x, \to, minus, 1, end subscript, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, squared, plus, 3, x, plus, 2, end fraction.
Mediante sustitución directa, obtuvo start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Para el paso siguiente de Justin, ¿qué método sería útil?
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Problema 4
Catherine trató de encontrar limit, start subscript, x, \to, minus, 3, end subscript, start fraction, square root of, 4, x, plus, 28, end square root, minus, 4, divided by, x, plus, 3, end fraction.
Mediante sustitución directa, obtuvo start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Para el paso siguiente de Catherine, ¿qué método sería útil?
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Armar el rompecabezas

Problema 5
El profesor de Jill le dio un diagrama de flujo (abajo) y le pidió que encontrara limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 25, divided by, x, squared, minus, 10, x, plus, 25, end fraction.
Un diagrama de flujo tiene opciones de la A a la H como sigue. Paso A, sustitución directa. Intenta evaluar la función directamente. Evaluar f de a nos lleva a las opciones B a D. Opción B: f de a = b dividida entre 0, donde b es diferente de cero. El resultado es (probablemente) una asíntota. Opción C: f de a = b, donde b es un número real. El resultado es que (probablemente) se encuentra el límite. Opción D: f de a = 0 dividido entre 0. El resultado es una forma indeterminada. A partir de la opción D, intenta volver a escribir el límite en una forma equivalente. Esto nos lleva a las opciones E a G. Opción E: factorizar. Opción F: conjugados. Opción G: identidades trigonométricas. Al usar las opciones E a G, intenta evaluar el límite en su nueva forma, regresando a A, la sustitución directa. La otra opción es H, aproximación: cuando todo lo demás falla, las gráficas y las tablas pueden ayudar a aproximar los límites.
Arrastra las tarjetas de abajo para mostrar el camino que siguió Jill para encontrar el límite.
A. Sustitución directa
B. Asíntota
C. Límite encontrado
D. Forma indeterminada
E. Factorización
F. Conjugados
G. Identidades trigonométricas
H. Aproximación

Problema 6
El profesor de Fenyang le dio un diagrama de flujo (abajo) y le pidió que encontrara limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, square root of, 2, x, minus, 5, end square root, minus, 1, divided by, x, minus, 3, end fraction.
Un diagrama de flujo tiene opciones de la A a la H como sigue. Paso A, sustitución directa. Intenta evaluar la función directamente. Evaluar f de a nos lleva a las opciones B a D. Opción B: f de a = b dividida entre 0, donde b es diferente de cero. El resultado es (probablemente) una asíntota. Opción C: f de a = b, donde b es un número real. El resultado es que (probablemente) se encuentra el límite. Opción D: f de a = 0 dividido entre 0. El resultado es una forma indeterminada. A partir de la opción D, intenta volver a escribir el límite en una forma equivalente. Esto nos lleva a las opciones E a G. Opción E: factorizar. Opción F: conjugados. Opción G: identidades trigonométricas. Al usar las opciones E a G, intenta evaluar el límite en su nueva forma, regresando a A, la sustitución directa. La otra opción es H, aproximación: cuando todo lo demás falla, las gráficas y las tablas pueden ayudar a aproximar los límites.
Arrastra las tarjetas de abajo para mostrar el camino que siguió Fenyang para encontrar el límite.
A. Sustitución directa
B. Asíntota
C. Límite encontrado
D. Forma indeterminada
E. Factorización
F. Conjugados
G. Identidades trigonométricas
H. Aproximación

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