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Transcripción del video

hemos visto las diferentes técnicas para encontrar límites en varios vídeos y ejercicios pero a veces es útil pensar en estrategias que nos ayuden a elegir qué técnica usar esto es lo que vamos a hacer en este vídeo este es un diagrama de flujo desarrollado por el equipo de khan academy y aquí vamos a ver cómo funciona este diagrama quizá les parezca complicado al principio pero ya verán que lo comprenderán mejor una vez que lo analicemos el objetivo es encontrar el límite de fx cuando x tiende a a lo primero que tenemos que hacer es sustituir x con a para ver qué sucede hay que evaluar efe y de acuerdo a este diagrama de flujo si f vea es igual a un número real entonces terminamos aunque hay una nota aquí que dice probablemente y la razón de esto es que el límite puede ser algo distinto al valor de la función evaluada en a a veces coincide que son iguales de hecho esta es la definición de una función continua que ya vimos en vídeos anteriores pero a veces no son lo mismo esto no se cumple necesariamente si tenemos una función que tenga un punto de discontinuidad como el que estoy dibujando o tenga un salto discontinuo como con una función que se vea así en estos casos no se cumple que sean iguales pero si en el punto en donde queremos calcular el límite al aproximarnos a este punto la función es continua y se comporta digamos que normal entonces esto es algo que debemos tener en mente primero tratar de evaluar la función en ese valor en general si tratamos con funciones comunes y corrientes como x cuadrada o expresiones racionales o trigonométricas como éstas y al evaluarlas nos da como resultado un número real probablemente hayamos encontrado lo que buscamos si tratamos con una función que tiene muchos casos especiales y está definida por partes como hemos visto en vídeos anteriores entonces es posible que no encontremos el límite que buscamos y también debemos ser cuidadosos si al ver la gráfica de la función en el punto am la función no es continua o da un salto pero en general esta es una buena regla si tratamos con funciones comunes y corrientes o que son continuas al evaluarse en el punto x igual a am entonces es probable que encontremos un límite de esta manera ahora veamos los otros escenarios qué pasa si al evaluar la función el resultado es un número que divide a 0 en este caso es probable que se trate de una a sin tota vertical qué significa esto veamos el ejemplo de acá el límite cuando x tiende a 1 de 1 / x 1 si tratamos de evaluar esta expresión sustituyendo uno en lugar de x entonces tenemos uno entre uno menos uno que es 1 entre 0 por lo que caemos en el caso de la 5ta vertical y si queremos comprender lo que sucede en este caso o verificar que en efecto se trata de una cinta vertical podemos evaluar la función con algunos números y tratar de graficar la por ejemplo digamos que hay una a sin total vertical en x igual a 1 esta es la asiento está vertical y ahora vamos a usar algunos valores para evaluar la función por ejemplo valores de x mayores a 1 en estos casos el denominador va a ser positivo y si usamos varios valores podemos tener una gráfica como esta y si después usamos valores menores a 1 los resultados serán negativos y podemos tener una gráfica así de ésta podemos verificar que hay una asín total vertical habrá casos muy especiales en los que no necesariamente tenemos una asín total vertical un ejemplo es 1 / x - x esta función es indefinida para cualquier valor de x por lo que es seguro que no tenemos una cinta está vertical aquí pero como mencioné antes estos son casos muy especiales la mayoría de las veces encontramos así notas verticales aquí digamos que nuestro límite no cae en alguno de estos casos qué pasa si al evaluar la función tenemos un cero sobre cero aquí tenemos un ejemplo de esto el límite cuando x tiende a menos 1 de esta expresión nacional vamos a evaluar la menos 1 al cuadrado es 1 menos uno negativo es más uno menos dos por lo que tenemos cero en el numerador en el denominador tenemos menos 1 al cuadrado es uno menos 2 x menos 1 es más 2 menos 3 nos da igual a 0 a esto se le conoce como forma indeterminada si seguimos el diagrama de flujo pasamos al lado derecho de esta en donde hay varias técnicas para tratar de encontrar el límite algo que está en forma indeterminada y en futuros vídeos es probable que aprendan otra técnica que usa un poco más de cálculo que se llama la regla del hopital que no veremos aquí justamente porque involucra cálculo mientras que las técnicas que tenemos acá pueden aplicarse sin tener que usar cálculo algunas son técnicas algebraicas y algunas son técnicas trigonométricas lo primero que nos recomiendan hacer especialmente si tenemos una expresión racional como ésta cuyo resultado está en forma indeterminada es tratar de factorizar la es decir tratar de simplificar esta expresión esta expresión del ejemplo se puede simplificar esto es igual a x menos 2 por x 1 entre veamos x menos 3 por x + 1 si no comprenden nada de lo que acabo de hacer les recomiendo que vean los vídeos que tenemos sobre factorización de polinomios o factorización de cuadráticas con esta factorización podemos ver que la expresión se puede simplificar siempre que x no sea igual a menos 1 estas dos cosas se pueden cancelar podemos decir que esto es igual a x2 entre x menos 3 para diferente a -1 a veces a las personas se les olvida agregar esta parte pero es importante hacerlo si queremos ser rigurosos matemáticamente esta expresión es idéntica a esta porque esta expresión no está definida para x igual a menos 1 aunque podríamos sustituir x igual a menos 1 aquí y ahora así obtener un valor así que si sustituimos x x menos 1 aunque aquí diga que no se puede hacer para que sea matemáticamente equivalente esto sería menos uno menos dos que es menos tres entre menos uno menos tres que es menos cuatro así que el resultado de esto es tres cuartos si esta condición no estuviera aquí podríamos evaluar esta expresión directamente porque ahora quedó como una función común y corriente y si pudiéramos evaluarla en menos uno entonces probablemente encontraríamos su límite vamos a repasar lo que hicimos factor izamos y simplificamos la expresión después evaluamos la expresión simplificada y ahora sí podemos encontrar el valor que estamos buscando en este ejemplo el límite es tres cuartos lo que acabamos de revisar hasta el momento se puede categorizar como la mayoría de los ejercicios de límites que nos vamos a encontrar las siguientes técnicas son un poquito más sofisticadas si tenemos una forma indeterminada en especial si tiene radicales o es racional con radicales podemos intentar multiplicarla por su conjugado en este ejemplo de aquí si queremos evaluar la función en x igual a 4 tenemos la raíz cuadrada de 4 menos 2 entre 4 4 que es igual a 0 entre 0 esta es una forma indeterminada para aplicar esta técnica sobre todo cuando tenemos expresiones radicales vamos a tratar de deshacernos de estos radicales y simplificar la expresión vamos a reescribir el ejemplo raíz de x menos 2 / x menos 4 vamos a conjugar la multiplicando por raíz de x + 2 / raíz de x + 2 es esta expresión entre la misma expresión por lo que no estamos cambiando para nada el valor de la expresión original esto va a ser igual a si tuviéramos a b x + b tendría la diferencia al cuadrado es el cuadrado de la raíz de x menos 4 aunque el cuadrado de la raíz de x va a ser igual a x solità lo reescribimos y nos queda x menos 4 entre x menos cuatro raíz de x más 2 esto nos sirve porque ahora podemos cancelar estos x menos cuatro y nuevamente si queremos tener exactamente la misma expresión matemática deberíamos decir que uno entre la raíz cuadrada de x más 2 para x diferente de 4 pero podemos ver a que se aproxima esta función al sustituir x 4 en la expresión simplificada si sustituimos x con 4 en esta expresión es igual a 1 entre raíz de 4 que es dos más dos es decir un cuarto podemos tener confianza de que este será el límite que buscamos y si graficar amos la función original tendríamos un punto de discontinuidad o un hueco en x 4 pero al simplificar multiplicando por el conjugado podríamos pensar que ese hueco desaparece y así podemos encontrar el límite de la función al aproximarse a ese punto la técnica siguiente tiene que ver con identidades trigonométricas y para poder usarla tienen que estar muy familiarizados con las identidades trigonométricas por ejemplo el límite cuando x tiende a cero de seno de x / seno de 2 x al evaluar esto en x igual a cero tendremos cero entre cero es la forma indeterminada por lo que caemos en esta categoría y pueden darse cuenta de que este es el límite cuando x tiende a cero de seno de x podemos reescribir el denominador como 2 por seno de x por coseno de x estos se cancelan para aquellas x diferentes de 0 si queremos ser matemáticamente precisos seguramente hay un hueco en la gráfica original pero para el propósito de encontrar el límite esto es igual al límite cuando x tiende a 0 de 1 entre 2 por coseno de x ahora podemos regresar a la condición verde de aquí porque ahora si podemos evaluar x 0 1 2 x coseno de 0 coseno de 0 es 1 así que esto es igual a un medio finalmente sin ninguna de estas técnicas funcionan y más adelante veremos otras técnicas que usan cálculo pero en general sin ninguna de estas técnicas funciona entonces caemos en la categoría de aproximación una aproximación podemos hacerla numéricamente al usar valores que sean mucho muy cercanos al número del cual queremos encontrar el límite si queremos encontrar el límite cuando x tiende a cero podemos usar 0.00 0001 o usar menos 0.0 0001 si queremos encontrar el límite cuando x tiende a 4 podemos usar 4.000 0001 y 3.999 999 para ver qué es lo que ocurre pero es el último recurso para encontrar el límite nos vemos en el siguiente vídeo
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