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Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es demostrar que el límite cuando teta tiende a cero del seno de teta entre teta esto es igual a 1 así que empecemos pero esta vez empezaremos dando una pequeña construcción geométrica o trigonométricas del asunto así que por acá tenemos este círculo blanco el cual es el círculo unitario y por lo tanto tiene un radio de 1 déjame notarlo este es el círculo unitario ahora cuál es la longitud de esta línea de color rojo bueno la altura de esta línea va a ser igual a la coordenada james de donde este radio interese acá al círculo unitario así que por las definiciones de las funciones trigonométricas dadas por el círculo unitario la longitud de este lado va a ser el seno de teta y si quisiéramos saber que esto también funciona para tetas que terminan en el cuarto cuadrante lo cual va a ser muy útil entonces podemos tomar el valor absoluto de el seno de theta ahora que hay de esta línea de color azul puede expresarla en términos de una función trigonométricas bueno vamos a pensarlo qué valor tomaría la tangente de teta bueno la tangente de teta es el lado opuesto el opuesto entre el adyacente así que si vemos este triángulo rectángulo que tengo aquí y tengo al ángulo theta en radiales entonces este es el lado opuesto y este de acá es el adyacente que es por cierto el radio del círculo unitario por lo tanto vale 1 entonces esto vale 1 y simplemente me va a quedar que la tangente de teta es el lado opuesto muy bien el lado opuesto es la tangente de teta y como lo mencioné esto tomará un valor positivo en el primer cuadrante pero si lo quiero hacer para todo el círculo unitario tomaremos el valor absoluto de la tangente de teta esto porque queremos tomar las cosas en el primer y en el cuarto cuadrante ya que esto nos ayudará a nuestra demostración ok ahora es momento de movernos de aquí voy a pensar en algunos triángulos y sus respectivas áreas primero voy a dibujar un triángulo que esté en este pedazo en esta rebanada de pastel así que voy a construir este triángulo y pensemos en cuál es el área de lo que estoy pintando aquí como podemos expresar esta área bueno sabemos que el área de un triángulo es un medio por su base por su altura y sabemos que la altura de esto es el valor absoluto del seno de teta y que la base es de 1 por lo tanto el área que va a ser igual a un médium por uno por el valor absoluto del seno de teta y lo puedo reducir aquí con bom déjame ponerlo como el valor absoluto del c dt está entre dos ahora pensemos en cuál es el área de este pedazo de pastel completo de esta sección circular entera como calculamos su área o dicho de otra manera qué fracción del círculo es bueno si fuéramos completamente alrededor de este círculo tendríamos dos veces por el radio entonces este de aquí va a ser bueno de tam entre dos del círculo entero y sabemos el área del círculo y más de este círculo unitario sabemos que su área es pib por el radio al cuadrado pero el radio es uno entonces me quedan simplemente pi por lo tanto el área de esta sección del círculo me va a ser teta entre 2 y si queremos que esto funcione para theta en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante entonces tomemos el valor absoluto de teta porque estamos hablando de un área positiva y ahora vamos a hablar de este triángulo grande de este que tengo de color azul el área que bueno es otra vez un medio por su altura por su base toda esta área va a ser igual a bueno un medio por la base que vale uno por la altura que sabemos que es el valor absoluto de la tangente de teta así que puedo escribir esto simplemente como el valor absoluto de la tangente dt está entre 2 ahora cómo podemos comparar estas áreas es decir el área del triángulo de color salmón con el área de la sección del círculo con el área del triángulo de azul bueno es claro que el área del triángulo de color salmón es menor o igual al área de la sección del círculo es decir de esta sección circular que a su vez es menor o igual al área del triángulo de azul el área de la sección circular es igual al área del triángulo salmón más este pedacito de aquí y el área del triángulo de azul es igual al área de la sección circular más este pedazo de aquí así que creo que al menos de una manera visual te sientes bien con estas desigualdades ahora sí hacemos un poco de manipulación algebraica y multiplicamos todo por 2 me va a quedar que el valor absoluto del seno de teta es menor o igual al valor absoluto de teta que es menor o igual al valor absoluto de la tangente de teta y ahora en lugar de poner el valor absoluto de la tangente de theta voy a escribir esto como el valor absoluto del seno de theta entre el valor absoluto del coste de 9 teta esto es exactamente lo mismo que el valor absoluto de la tangente de teta y la razón del por qué hice esto es porque ahora podemos dividir todo entre el valor absoluto del seno de teta como estoy dividiendo por una cantidad positiva no voy a afectar mis signos de desigualdad y me quedaría esto dividido entre el valor absoluto del seno de teta esto también dividido entre el valor absoluto del seno de tam y por aquí voy a multiplicar por 1 entre el valor absoluto del seno de teta y que obtengo bueno el valor absoluto en el seno de teta entre el valor absoluto del seno de t tan bueno hechos 1 y del lado derecho me quedo con bueno aquí estos dos se cancelan y me queda simplemente un hombre entre el valor absoluto del coseno de teta ahora el siguiente paso que voy a hacer es tomar el recíproco de todo y cuando me tomé el recíproco de esto se van a invertir las desigualdades cuidado el recíproco de uno bueno seguirá siendo 1 y ahora al tomar el siguiente recíproco me va a quedar que esto va a ser ahora mayor o igual y el recíproco de lo que tenemos en medium va a ser el valor absoluto del seno de tam entre el valor absoluto de teta se voltean y ahora al tomar el siguiente recíproco esta desigualdad me va a quedar como mayor o igual en el recíproco de 1 entre el valor absoluto del coste de beteta es simplemente el valor absoluto del coseno de teta y como sólo nos interesan qué es lo que pasa en el primer y en el cuarto cuadrante porque vamos a crear aproximar la teta a 0 en esta dirección y también en esta otra dirección por lo tanto nos interesa solamente lo que pasa en el primer y en el cuarto cuadrante bueno pues en el primer cuadrante donde t t es positivo el seno de teta también es positivo y en el cuarto cuadrante teta es negativo y el seno de teta tendrá el mismo signo también será negativo es por ello que estos valores absolutos salen sobrando en el primer cuadrante tengo algo positivo entre algo positivo y en el cuarto cuadrante tengo algo negativo entre algo negativo así que déjame quitarlos y ahora observa el coste lo que representa la coordenada x de nuestro punto la cual observa no es negativa en el cuarto cuadrante y por lo tanto podemos asegurar que será positiva entonces también quitaré el valor absoluto al coseno de teta ahora podemos pasar un segundo este vídeo porque ya casi tenemos la respuesta puedes verla observa tenemos tres funciones puedes ver esto como fz igual a 1 estoy acá como head de teta igual al seno detectan entre teta y está como htc igual coseno beteta en este intervalo que nos importan que es el intervalo para menos y medios menor o igual a teta menor o igual a pi medios este intervalo que nos interesa es decir para cualquier ángulo hay entonces esta desigualdad es cierta por cómo estamos definir nuestras funciones ojo se detecta entre tan bueno ella si está definida para este intervalo excepto cuando te está vale 0 para cualquier otro ángulo esta desigualdad se cumple y aún así podemos encontrar el límite así que podemos decir que por el teorema de comparación o del sándwich esto es cierto el intervalo entonces sabemos que lo siguiente también es cierto y aquí es donde debería de entrar un redoble de tambor porque el límite cuando teta tiende a cero de uno va a ser mayor o igual al límite cuando te está tiende a cero de seno de teta entre teta que es lo que estamos buscando que va a ser mayor o igual al límite cuando teta tiende a cero de coseno de teta y bueno esto claramente va a ser 1 así que déjame ponerlo esto es el límite que buscamos y este de aquí a ver cuál es el límite cuando teta tiende a cero de cociendo dt está bueno cociendo de cero es 1 y es una función continua y por lo tanto va a ser igual a 1 entonces veamos esta función debe de ser mayor o igual a 1 y menor o igual a 1 eso quiere decir que este límite tiene que ser igual a 1 y ya con esto lo hemos logrado
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