Tipos de discontinuidades

en este vídeo hablaremos de los diferentes tipos de discontinuidades que probablemente ya han visto en álgebra o en pre cálculo así que vamos a relacionar esta noción tanto a límites bilaterales como unilaterales pero primero veamos un repaso de la clasificación de discontinuidades del lado izquierdo podemos ver que esta curva se parece a la función de la equis cuadrada hasta que llegamos a x igual a 3 porque en lugar de 3 al cuadrado en este punto tenemos un agujero y en lugar de que la función en 3 sea 3 al cuadrado está definida como 4 continúa como ye igual a x cuadrada y a esto se le conoce como discontinuidad evitable discontinuidad evitable y se llama así por razones obvias la función es discontinua en este punto y podemos imaginar que se define o mejor dicho se redefine la función y en este punto vuelve a hacer continua la discontinuidad es eliminada pero como se relaciona esto con nuestra definición de continuidad bueno recordemos la definición de continuidad se dice que f es continua si y sólo si o mejor dicho f es continua en x igual a c si y sólo si el límite de fx cuando x se aproxima a c es igual al valor actual de la función cuando x es igual a sí entonces por qué fallo aquí bueno el límite por ambos lados existe porque si decimos por ejemplo que en este caso c es igual a 3 el límite cuando x se aproxima a 3 de fx bueno si revisamos esto gráficamente sabemos que esta es la la equis cuadrada excepto en esta discontinuidad esto es igual a 9 pero el problema es que en la forma en la que está representada esta gráfica esto no es lo mismo que el valor de la función porque efe de 3 es decir la forma en la que esta gráfica da esta función efe de 3 es igual a 4 así que esta es una situación en la que existe un límite por ambos lados pero no es igual al valor de esa función y tal vez se encuentren con otro tipo de circunstancias en donde la función aquí todavía no esté definida aquí no lo está entonces puede que existe el límite pero la función todavía no está definida aquí aunque de cualquier manera no se cumple este criterio para la continuidad entonces esta es la discontinuidad evitable porque existe una discontinuidad con respecto a la definición del límite de continuidad y ahora veamos el segundo ejemplo si analizamos nuestra idea y va de continuidad de esta gráfica y tratamos de trazar la podemos ver que cuando llegamos a x2 tenemos que separar el lápiz del papel para seguir trazando así que esa es una forma de saber que es discontinua como sucede aquí si trazamos esta función tenemos que separar el lápiz porque no podemos pasar por este punto tenemos que brincar hasta acá y continuar así que como en los dos casos tenemos que separar el lápiz del papel esto también es discontinuo pero este tipo de discontinuidad en el que hay un brinco de un punto a otro se conoce como una discontinuidad de salto discontinuidad de salto cómo se relaciona esto con los límites bueno aquí sí existen los límites derecho e izquierdo pero no son iguales así que no tenemos un límite por ambos lados porque por ejemplo para este caso en particular todos los valores de x arriba de i incluyendo x igual a todos aquí tenemos la gráfica de jay x al cuadrado y después para valores de x mayores a todos tenemos la gráfica de la raíz cuadrada de x entonces en esta situación si tomamos el límite de fx cuando x se aproxima a 2 desde la izquierda esto es igual a 4 nos acercamos a este valor y de hecho este es el valor de la función pero si sacamos el límite de fx cuando x se aproxima a 2 desde la derecha esto a que será igual bueno al acercarnos desde la derecha como aquí tenemos la raíz cuadrada de x nos acercamos a la raíz cuadrada de 2 pero no podríamos saber que este es un dos simplemente observando este punto lo supimos porque conocemos la función de esta parte de la gráfica así que está claro aún visualmente que nos acercamos a dos valores distintos cuando nos aproximamos desde la izquierda y cuando nos aproximamos desde la derecha entonces aun cuando existen los límites son y laterales no se aproximan a lo mismo no existe el límite por ambos lados y si no existe el límite bilateral el límite no puede ser igual al valor de la función incluso cuando la función es definida por eso es que la discontinuidad de salto falla en esta prueba ahora observen que todo esto es intuitivo aquí vemos que hay un salto tenemos que separar el lápiz de la gráfica para continuar porque esto no está conectado ok y finalmente aquí podemos ver que bueno al estudiar pre cálculo a esto se le conoce como discontinuidad asintótica discontinuidad asintótica e intuitivamente nos damos cuenta de que aquí tenemos una asín tota tenemos una asín tota vertical en x igualados y si trazamos sobre la gráfica desde la izquierda continuaremos y continuaremos para siempre porque es infinita y conforme nos aproximamos a x igual a 2 desde la derecha nuevamente nos damos cuenta de que esto continúa así infinitamente sería imposible trazar toda la función en una vida pero esto nos ayuda a entender que no hay forma de que pasemos de aquí a acá sin levantar nuestro lápiz del papel y bueno si queremos relacionar esto con la noción de los límites tanto el límite del lado izquierdo como el del derecho son infinitos así que oficialmente no existe y si no existen no podemos establecer estas condiciones entonces podemos decir que el límite de fx cuando x se aproxima a 2 del lado izquierdo de x podemos ver que continúa infinitamente en dirección negativa así que muchas veces pueden encontrarse algo como esto menos infinito pero lo más adecuado es simplemente decir que es notable e igualmente si pensamos en el límite de fx cuando x se aproxima a 2 desde la derecha ahora continúa hacia más infinito así que esto también es notable y por esa razón es que este límite no existe no cumple con estas condiciones por lo que será discontinuo entonces esta es una discontinuidad evitable esta es una discontinuidad de salto porque tenemos que saltar de un punto a otro y finalmente tenemos estas assynt o estás verticales así que esta es una discontinuidad asintótica