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La definición formal del límite. Parte 3: la definición

Transcripción del video

en el último vídeo nosotros tratamos de introducirnos poco a poco en una definición común pero rigurosa de lo que es un límite y dijimos que cuando hablamos del límite de fx cuando x se aproxima a c es igual a él y nosotros realmente lo que estamos diciendo con esto que ella es una definición un tanto rigurosa se puede obtener que fx sea tan cerca como tú quieras de l haciendo que x sé lo suficientemente cercana hace ahora para hacer esto un poquito más generalizado vamos a poner tan cerca como tú quieras le vamos a llamar que es un número positivo llamado épsilon dicha épsilon es la letra griega que nosotros conocemos pero vamos a tratar de realizar esto más como si fuera un juego entonces supongamos que dijeras que tan cerca quieres esto ya hace del juego que mejías que tan cerca quieres que fx este dl y hacer esto es dar un número cualquiera positivo al cual llamaremos épsilon donde épsilon va a representar los cercanos que va a estar fx l entonces vamos a señalarlo aquí que al dar un número positivo llamado épsilon va a ser que tan cercano va a ser que tan cercano queremos que esté fx de l por lo que por ejemplo que dijeras que épsilon fuera igual a 0.01 y esto es lo cerca que lo quieres estaría diciendo que quieres que este punto 0 1 cerca de él y entonces lo que hemos estado haciendo es decir ok dado un número positivo que ya tenemos el cual es épsilon ahora vamos a encontrar otro número positivo el cual vamos a llamar delta y también como en el otro caso utilizaremos la letra griega delta y de tal manera que si x está dentro de el intervalo que se encuentra o sea que de tal forma que x se encuentre dentro del intervalo que va a formar delta y c luego entonces luego entonces f x va a estar dentro de el rango del intervalo que va a estar entre el dado épsilon y nuestro límite que en este caso es el y ahora veamos que en realidad dicen la misma cosa esta definición amarilla de aquí nos está diciendo que puedes obtener f x tan cerca como tú quieras de él haciendo que x quede lo suficientemente cerca de c y en esta segunda definición nos estamos refiriendo un poco más hacia el juego donde alguien dice que tan cerca quiere que esté f x de l con el epsilon dado y luego hay que identificar la delta pues hay que ver qué tan largo queda el intervalo de x 11 entonces ya después efe x estará dentro del límite y es lo que hacemos aquí mira nosotros aquí lo que quisimos es construir x que tuviera un cierto tamaño de tal manera un cierto rango de tal manera que éste f x se proyecte en el intervalo que nosotros quisiéramos y déjame realizar esto un poco más claro por el diagrama que dibuje por aquí entonces dices que quieres que fx tenga épsilon como límite por aquí entonces esto va a ser él + épsilon y el límite de por acá va a ser el menos eps block y luego dices ok seguro yo pensé que podría hacer que fx estuviera dentro de este rango como nuestro límite y podemos hacer esto definiendo un cierto rango alrededor de ese y esto podría ser déjamelo dibujo un poco más claro esto podría ser encontrando otro número positivo otro número que sería delta por lo que esto de aquí va a ser déjame primero trazó las líneas punteadas esta de la izquierda va a repetir la derecha va a representar hace más delta y este de por acá va a hacerse menos ya me equivoqué déjamelo borrar va a ser menos delta y este es el rango que ha definido en el eje de las equis y como nosotros sabemos fx o nuestra función no está definida en ce así que hay que tener cuidado de tomar un equis que quede en este rango y este próximo hace más no se hace y entonces podemos tomar cualquier equis en este rango y efe de alguna de estas equis va a quedar tan cerca como hayamos puesto nuestro límite y esto el límite va a quedar dentro del l + épsilon y el menos épsilon por lo que en otras palabras lo que estamos diciendo es que dado un épsilon vamos a encontrar un delta por lo que vamos a hacer esto un poquito más matemático o un poquito más riguroso entonces vamos a escribir el mismo párrafo pero en un lenguaje mejor y entonces vamos a comenzar tenemos que tenemos que tenemos un número positivo no o mejor dicho dado un épsilon lo voy a escribir de esta forma para que quede bien dado épsilon mayor que cero podemos encontrar estos en la primer parte del enunciado podemos encontrar o existe un delta que también va a ser mayor que cero tal que tal que si encontramos que x se encuentra en el intervalo que hay de c + delta y c - delta que es el que pusimos por aquí o bien en otras palabras para accent irá mejor la distancia de x menos se lo voy a poner en valor absoluto para que nos represente la distancia es menor que delta y este término lo que nos está diciendo es que cualquier x que se encuentre en este intervalo de s más de 13 menos de alta va a ser menor que delta puesto que si lo tomas dicho x en alguno de estos puntos pues sí va a terminar siendo y las restas la distancia que haya con se va a terminar ciento menor que delta entonces luego tenemos que también la distancia que hay a la distancia vamos a encontrar que la distancia de fx como nuestra función menos el límite está expresando su distancia será menor que épsilon y todo esto lo que nos dice es que es que si ciertamente el límite existe es que si tú me das un número positivo épsilon y éste puede ser cualquier número súper pequeño nosotros podemos encontrar a delta podemos encontrar a delta y un rango que esté alrededor de c y todo este término nos está diciendo que la distancia será menor que delta donde delta puede ser también cualquier punto de por aquí pero en cuanto a éstos efe es de x la función respecto a esas x va a estar dentro de este rango que específica nos va a estar entre los eps y long como nuestro límite pues la diferencia que hay entre fx y nuestro límite que es l será menor que épsilon y las ff x estarán situados en algún lugar de por aquí en algún lugar de este rango y finalmente esto es todo lo que respecta en cuanto a la definición del límite con épsilon y delta si en el siguiente vídeo vamos a tratar de demostrar que esto existe
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