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La definición formal del límite. Parte 4: uso de la definición

Transcripción del video

en el vídeo anterior tomamos nuestra primer visión de lo que es la definición del límite con épsilon y deltas y lo que esencialmente nos dice es que si pides que el límite cuando x aproxima hace de fx es igual a l entonces lo que dicha definición significa es que si alguien te da a cualquier épsilon positivo es esencialmente cuán cerca queremos que esté f x dl y que también podemos siempre encontrar un delta que también va a ser mayor que 0 de tal manera que ésta va a estar acortando la distancia que hay entre x y c entonces f x va a estar también dentro del intervalo que forma épsilon de delta y si nosotros podemos encontrar dicha delta para cualquier épsilon entonces podemos afirmar que este límite en efecto el límite de fx cuando x aproxima a c existe y quizás te aparezca ahorita un tanto abstracto así lo que yo quiero hacer es dar un ejemplo para que veamos cómo funciona esto entonces tenemos aquí que f está definida como que es igual a 2x para cuando x es distinto de 5 y x para cuando x es igual a 5 y entonces yo la gráfica por acá esta recta de aquí representa la recta de 2x que no está definida cuando x es igual a 5 y para ese caso tenemos que x es igual a 5 y es el punto que se encuentra aquí y entonces ahora si yo te pregunto cuál es el límite de fx es bonito e intuitivo verlo para cuando x es igual a 5 pero quizás no luzca tan sencillo para cuando hablamos de 2x y tenemos que ver cómo está representando el valor cuando x es igual a 5 pues luce como si tuviéramos 10 no sería 2 x 5 y tal vez se luzca bastante intuitivo hacer la prueba que del límite de fx cuando x tiende a 5 realmente es igual a 10 pero viéndolo de otra forma podremos probarlo con la definición que tenemos decisión del tas para que quede esto todavía más claro y la forma en que normalmente la mayoría de estas pruebas se realizan es que nosotros vamos a definir de ésta de forma abstracta y luego esencialmente tratamos de llegar a delta dado un cierto épsilon siempre tiende a convertirse en delta o de otra forma nosotros trataremos de describir delta como una función de épsilon pero para no confundirme mucho o confundirte mucho vamos a poner que delta va a estar dada aquí le voy a escribir no va a volver a repetir efe entonces le vamos a llamar que está dada por una función de épsilon pero está definida para cualquier épsilon positivo así que si tú me das cualquier épsilon yo tendré que realmente poner el problema en función de dicho épsilon y más adelante dar el cierto delta entonces dudas cualquier épsilon y siempre siempre se va a obtener un delta entonces cuando esto es cierto tenemos en efecto que está la distancia o el rango que queda entre delta y sé que tenemos por acá y entonces sucede que la distancia de fx con el límite queda acotada con épsilon y entonces el límite definitivamente existe así que tratamos de realizar una vez entonces como tú podrás ver aquí se es igual a 5 y lo que yo ya hice es abrir nuestro rango aquí tenemos 5 + delta y 5 menos delta y ahora esto que voy a subrayar aquí son las equis que podemos tomar dentro de dicho intervalo pero excepto 5 pues recordemos que ahí no está definido y entonces estas serán todas las equis que satisfacen dicha desigualdad entonces vamos a tener que la distancia de x menos 5 será menor que delta ahora bien lo que vamos a realizar es que la forma típica en como estas pruebas se hacen es que vamos a tratar de manipular esta desigualdad pues este lado de la desigualdad que comience a lucir en algo como esto este lado que luzca como algo de esta forma y al hacer esto de nuestro lado derecho de la desigualdad va a estarse expresando en términos de delta y luego podremos esencialmente decir que como está dado en términos de delta y del otro lado de esta ecuación está dado en términos de épsilon entonces podremos llegar a alguna conjetura común y quizás ahorita lo veas no pues no tiene tanto sentido pero déjame hacerlo o realizarlo y entonces si lo que queremos es que x lo que queremos es que x menos cinco luzca como este este lado de nuestra ecuación de fx menos el límite cuando x es distinto de 5 entonces tendremos lo siguiente y entonces tenemos que fx es igual a 2x para cuando x es distinto de 5 y si queremos que esto luzca igual que la función entonces simplemente multiplicamos dos veces la desigualdad por ambos lados y vamos a tener que es dos veces por el valor absoluto de algo y es lo mismo que si tenemos lo escribir por acá 2 por el valor absoluto de a es igual que tener 2 veces el valor absoluto de a entonces voy a desarrollar y tendríamos lo siguiente tendríamos el valor absoluto de 2x menos 10 menor todo esto menor que 2 de esta y te repito que esto es para cuando x es distinto de 5 y entonces literalmente este es nuestro límite ahora aquí finalmente tenemos algo parecido a lo que queríamos de en cuanto a fx es el límite pues nuestro lado izquierdo ya corresponde pero ahora de este lado derecho hay que ver cómo lo definimos pero antes déjame aquí subrayar te lo que fx viene siendo que es 2x y el límite es 10 y entonces ahora sí vamos a poner a delta en función de épsilon tenemos que esta desigualdad tiene aquí a épsilon entonces épsilon va a ser igual a 2 delta pues simplemente fijándonos en las desigualdades vemos que corresponde a lo mismo del lado izquierdo e igualamos el extremo derecho de cada desigualdad entonces si épsilon es igual a 2 delta y despejamos de esta vamos a hacer vamos a sería ponerlo lo voy a poner de otro color vamos a hacer que delta está en función de épsilon 2 delta es igual a épsilon entonces despejó delta y delta va a ser igual a épsilon medios y ahora observando tenemos que este enunciado de aquí se convierte en el valor absoluto bueno vamos a poner primero en lo que convertimos a delta en términos de épsilon entonces tenemos que delta es igual a épsilon medios y entonces este enunciado de aquí es que la distancia de fx menos l es menor dijimos que 2 delta pero 2 de eta ahora sustituimos lo que representa del tanto que tenemos que es 2 por épsilon medios y nos queda que es menor que epsilon y finalmente aquí tenemos la llave de todo ahora si cualquier épsilon positivo que te den simplemente nosotros lo que tenemos que hacer es que ya tenemos que para esta función delta es igual a épsilon medios luego cualquier x dentro del rango que tenemos van a corresponder algún fx y éste va a estar dentro de nuestro límite así que si alguien te dice que épsilon y recuerda que puede ser para cualquier persona mayor que 0 podrías ver cómo juega si te dijeran que épsilon es igual a punto 5 entonces nuestro límite sabemos que es 10 y aquí tendríamos que este límite de acá sería 10.5 y por acá abajo tendríamos que sería 9.5 y ahora con la deducción de delta de la que hicimos sabemos que delta es igual a epsilon medios entonces es punto 5 sobre 2 y esto la punto 25 entonces nos va a dar un rango entre 4.75 un rango entre 4.75 y 5.25 donde por supuesto estas x de este rango que en algún f x que no va a ser igual a 5 entonces podemos ver como f x va a caer entre 10.5 y 9.5 entonces es tan simple como que me den cualquier épsilon cualquier número mayor que 0 y utilicemos esta deducción de delta para obtenerla y ya luego delta nos define todo este camino que hicimos por aquí y lo atravesamos para llegar a una desigualdad como esta donde tenemos que la distancia entre x menos 5 es menor que delta y donde delta está definida por cualquier explotado y este va a ser el camino que se sigue como fx define nuestro límite
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