2011 Calculus AB. Respuesta libre #1 (b, c, & d)

ahora trabajemos con el inciso b en el inciso b que dice encuentra la velocidad promedio de la partícula en el período de tiempo cero menor o igual que t menor o igual que 6 entonces para resolver el inciso b lo que quiero es la velocidad promedio y si recordamos un poco las fórmulas que tenemos de la física clásica acerca de la velocidad yo tenía que la distancia es lo mismo que la velocidad en este caso promedio por el tiempo o dicho de otra manera la velocidad promedio es lo mismo que la distancia total entre el tiempo total y con esta fórmula voy a conseguir el inciso a ver ahora bien el problema consiste en que yo no sé la distancia total de hecho ni siquiera tengo una ecuación para la posición entonces para ello encontrar esta distancia total me voy a fijar en la ecuación de la velocidad recuerden que la velocidad es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo para entender mejor qué es lo que está pasando voy a hacer una gráfica comparando la velocidad con el tiempo el tiempo lo tengo de 0 a 6 segundos y supongamos que la gráfica de la velocidad es esta me estoy tomando una gráfica cualquiera porque graficar vedete en el examen no creo que sea la mejor estrategia además lo importante saber cómo encontrar la distancia en esta gráfica que tenemos para ello me voy a aplicar en un intervalo de tiempo muy pequeño y con él voy a construir una columna esta columna tiene una propiedad muy importante si yo me fijo en el área de esta columna es una buena aproximación de la distancia en ese tiempo muy pequeño porque porque si yo tengo un pequeño tiempo y lo multiplicó por la velocidad obtengo la distancia no es así entonces ya tengo yo una aproximación para la distancia en un tiempo pequeño yo puedo extender esta idea a que el área bajo mi curva pdte del tiempo cero el tiempo seis segundos es mi distancia total es decir la distancia es la integral de 0 a 6 de la función de t dt y una vez que ya obtuve la distancia total con esta integral entonces la velocidad promedio es la distancia entre el tiempo total pero que es el tiempo total el tiempo total aquí es una diferencia de tiempo aquí es una diferencia de tiempo y el tiempo total serían 6 unidades pues es la diferencia entre el tiempo 6 segundos y el tiempo 0 segundos que es la cantidad de tiempo de mi intervalo ahora bien darse cuenta que resolver el inciso b radica entonces en encontrar la integral de la velocidad de t y a esto dividirlo entre 6 sin embargo la integral de la velocidad no es una integral sencilla pues la integral de dos veces el seno de ea la t entre cuatro más uno no es una integral que podemos hacer tan fácil a mano por lo tanto lo voy a buscar en mi calculadora la forma de resolver esta integral definida para esto me hubiera el catálogo después me voy a ir a apps y ahora voy a fijarme en dónde está no aquí está el fn int es decir la integral definida la integral definida de quién bueno la función va a ser dos veces seno de y elevado a la t entre cuatro más uno entonces voy a escribirlo dos veces lo voy a poner aquí que multiplica al seno de paréntesis y elevado a la 4 en lugar de te lo voy a poner como equis pero aquí nos falta un paréntesis porque después lo voy a tener que sumar 12 veces el seno y ahora sí de la función exponencial la función exponencial elevado a la equis es lo mismo que teo x es una variable elevado a la paréntesis x entre 4 a esto hay que dividirlo entre 4 vamos bien con los paréntesis si a tengo que cerrar mis paréntesis ahora si cierro 1 tengo que cerrar otro también y creo que a otro también ya esto lo tengo que sumar 1 coma coma y ahora tengo que poner con respecto a quién voy a integrar mi integral en este caso es con respecto a la variable x lo hice con respecto a la variable x para no venderme en el problema de ponerte en la calculadora y de dónde a dónde a pues de 0 a 6 y ya está ahora si tengo por fin esta forma de resolver esta integral que es la calculadora está buscando el valor numérico y ya está el valor es 11 puntos 69-62 entonces esto es igual a 11.69 6 ya redondeado no me voy a meter en problemas de 62 etcétera etcétera y ya esto hay que dividirlo en 36 entonces si este número yo lo divido entre 6 ya he terminado el inciso vez entonces vamos a dividir esto entre 6 la respuesta entre 6 es igual a 1.94 93 por lo tanto la velocidad promedio va a ser ni más ni menos que 1 punto 94 9 que ha redondeado y como no nos importan las unidades ya tenemos respuesta del inciso b así que vamos con el inciso c que dice encuentra la distancia total recorrida por la partícula del tiempo t igual a 0 al tiempo t igual a 6 y tenemos mucha suerte porque la respuesta del inciso c ya la habíamos obtenido en el inciso b la respuesta de la distancia total es 11.69 6 así que vámonos al inciso de que dice lo siguiente para ser un menor o igual que el tiempo menor o igual que el 6 la partícula de cambiar de dirección exactamente una vez exactamente una vez encuentra la posición la posición de la partícula en ese tiempo en ese instante vamos a ver qué podemos hacer lo primero que sería muy bueno analizar es entender a qué se refiere el problema cuando dice que la partícula cambia de dirección exactamente una vez y es que como la partícula se mueve solamente en un eje cuando cambias de dirección pasa lo siguiente la velocidad cambia del signo puede ser positiva y cambiar a negativa o en su dado caso ser negativa y cambiar a positiva más intentar verlo con una gráfica estoy comparando otra vez la velocidad con el tiempo y supongamos que pasa lo siguiente la velocidad es positiva y después se vuelve negativa cuando cambias de dirección es justo el punto en donde pasa a ser t positiva a negativa es decir cuando en esta gráfica la velocidad se hace cero por ejemplo en el otro caso de la velocidad cambia de ser negativa a positiva es justo también este sitio donde la velocidad se hace cero o dicho en otras palabras donde la curva de la velocidad cruza al eje del tiempo pero eso sí es muy importante que la velocidad cambie de signo por ejemplo en este caso la velocidad es positiva va decreciendo toca el eje del tiempo y después vuelve a crecer otra vez es decir cambia de ser positiva a cero y otra vez a ser positiva y en ese caso no hay un cambio de dirección por lo tanto para que mi partículas cambios de dirección necesitamos que mi curva de la velocidad cruce al eje del tiempo y además cambia de dirección exactamente una vez es decir solamente va a cruzar una vez al eje del tiempo por consecuente lo que buscamos es encontrar donde la curva pendiente se hace igual a cero ahora bien dicho de otra manera lo que queremos es que esta esta ecuación vedette sea igual a cero entonces vamos a escribirlo dos veces el seno del elevado late entre cuatro más uno esto es la función vedete y yo lo que quiero es que sea igual a cero y resolver esta ecuación es encontrar mi respuesta del inciso de por lo tanto yo lo que quiero es un tiempo entre 0 y 6 que resuelva esta ecuación entonces vamos a restar uno de los dos lados y me queda que dos veces el seno de elevado a la t entre cuatro es igual a menos uno o dicho de otra manera el seno de entre cuatro es igual a menos uno entre dos bases dividiendo el dos y bueno esto lo podríamos buscar en la calculadora pero como hay varios ángulos que cumplen la propiedad que le aplicar la función se no nos dan menos un medio voy a buscarlos mejor en el círculo unitario pero bueno lo que me gustaría entender bien es esta expresión yo tengo que el seno del elevado a la t entre 4 es igual a menos un medio es decir elevado a de entre 4 debe de ser un ángulo y yo busco es un tiempo que esté entre 0 y 6 que cumpla que el seno de eb elevado a la t entre 4 es decir el seno de ese ángulo sea igual a menos un medio voy a dibujar el círculo unitario y vamos a darnos cuenta de quiénes son aquellos ángulos cuyo seno es igual a menos un medio bueno haciendo un poco de memoria y recordando los principales ángulos que conforman el círculo unitario nos vamos a dar cuenta que el ángulo menos pi sextos es el primero que cumple esta propiedad o si lo quisiéramos ver como un ángulo positivo tendríamos que hacer dos menos pi sextos y bueno el otro ángulo que cumple esta propiedad que el seno de ese ángulo es igual a menos un medio es este de aquí es decir este ángulo lo encontramos teniendo aquí acá eyed peas y sumándole pi sextos y bueno vamos a encontrar los más peak sextos cuánto es vamos a ponerlo aquí en más y sextos esto es igual a 6 pi más pin todo esto entre 6 es decir esto es lo mismo que 7 entre 6 y de hecho el otro ángulo que tenemos aquí está negativo es 11 pi sobre 6 pues le restamos a 2 pi un sexto de pinos quedarán 11 pieces sextos y con esto ya tenemos dos soluciones aunque también es importante recordar que cualquier múltiplo de dos pick sumado a estos dos ángulos sería también solución pero para no complicarnos la vida con una infinidad de soluciones voy a tomar y a suponer que 7 piso de 6 es mi solución vamos a ver si se cumple que existe un tiempo tal que he elevado a la t entre 4 es igual a 7 x sextos así que vamos a intentar que se cumpla esta igualdad yo quiero que el seno de un ángulo es igual a menos un medio si ese ángulo es decir el elevado a la 34 es igual a 7 pi sextos que es lo que habíamos encontrado y bueno resolviendo aquí lo primero que hay que hacer es sacar el logaritmo natural de ambos lados es decir de entre 4 hay que ponerlo aquí te dividido entre 4 es igual al logaritmo natural de 7 pin entre 6 pase del otro lado de la función exponencial y si ahora paso el 4 multiplicando voy a obtener que t es igual a 4 es el logaritmo natural de 7 sobre 6 así que vamos a intentar ver si este es nuestro resultado factible en la calculadora queremos un tiempo recuerden entre 0 y 6 entonces cuatro veces el logaritmo natural de abro paréntesis 7 y donde está pin aquí sobre 6 esto es igual a 5 puntos 1955 perfecto tuvimos bastante suerte porque es un número que está entre 0 y 6 es decir es nuestro resultado esto es igual a 5 puntos 19 6 ya redondeado pero hay que tener cuidado porque todavía no hemos encontrado la respuesta de este inciso porque nos piden encuentra la posición de la partícula en ese tiempo y recuerden que no tenemos una función explícita para la posición la posición está dada por equis dt pero lo que sí sabemos es que esta posición la podemos encontrar con una integral x 7 es igual a la integral de cero a t de quien pues de la velocidad no pueden que la velocidad es la derivada del es decir la integral de 0 a t de la velocidad que depende del tiempo diferencial de más una constante ahora nosotros tenemos unas condiciones esenciales que no hemos usado aquí arriba nos decían que x de 0 es igual a 2 y nunca he mostrado eso entonces nosotros usamos que x de 0 es igual a 2 en esta definición de x dt voy a obtener que x de 0 es igual a la integral de 0 a 0 dvd t diferencial de t más una constante pero esto tiene que ser igual a 2 por el valor que nos dan ahora esta integral pues vale 0 y con esto obtenemos el valor de la constante la constante vale 2 y si sustituimos este valor de la constante yo voy a obtener que x 7 está dado por la integral de 0 a t de mi función velocidad diferencial de t más 2 y bueno ya con esto podemos encontrar la posición tras la que andamos y sustituimos al tiempo x 5.196 vamos a hacerlo la posición en el tiempo 5.196 va a ser igual a la integral de 0 a 5.196 dvd t dt + 2 entonces vamos a usar otra vez la calculadora y de manera análoga a como lo hicimos en el inciso b voy a sacar el catálogo después voy a buscar la integral definida que era la función que teníamos aquí está aquí fn int entonces la integral definida de primero voy a poner la función que era de detener apt se acuerdan de dvd dvd de hecho la tenemos aquí la calculadora esta vez de tema entonces vamos a escribirla teníamos la integral definida de paréntesis paréntesis dos veces el seno de la función exponencial elevado a la x entre 4 recuerden que estoy tomando a la variable x como variable de integración todo esto cierro paréntesis cierro transparentes y otra vez paréntesis y esto lo tenemos que sumar 1 de la variable de integración que es equis y de dónde a dónde a pues en esta ocasión va a ser de 0 y no vamos a parar en 6 tenemos que parar en el valor que teníamos que dar 5.196 o mejor lo voy a poner como la respuesta anterior entonces de la respuesta anterior cierro paréntesis y todo esto a todo esto de aquí le tengo que sumar 2 pues ya use el valor inicial que me daban entonces a todo esto le sumamos 2 y dejamos que la calculadora piense un poquito y voy a obtener ya la respuesta correcta que es 14.13 47 y ya está nuestra posición final es igual a 14 puntos 134 un poquito más redondeado