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Transcripción del video

problema 2 cuando una taza de té se enfría la temperatura del té es modelada por la ecuación diferencial h para hacer un menor o igual que t menor o igual que 10 donde el tiempo está medido en minutos y la temperatura hdt esta medida en grados celsius algunos valores de hdt y algunos valores del tiempo se muestran en la tabla de a continuación en nuestra tabla de aquí inciso a usa los datos de la tabla para aproximar la velocidad a la cual la temperatura del té está cambiando en el tiempo te iguala 3.5 muestra el procedimiento que te llevó a esta respuesta bueno lo primero que me piden es que use los datos de la tabla entonces creo que va a ser buena idea graficar los datos que tengo en mi tabla entonces voy a hacer que este es mi eje de la hd de la temperatura y el otro eje va a ser el eje del tiempo y dese cuenta de que el tiempo es 0 2 5 9 y 10 entonces vamos a hacer esos intervalos el tiempo es empieza en cero por aquí está el 5 por hasta acá hasta el 9 y aquí está el 10 y bueno la temperatura está en 66 grados celsius está por aquí y después en dos bajas 60 grados celsius entonces puede hacer por aquí 60 grados celsius en 5 baja a 52 grados celsius está más o menos por más o menos por aquí este va a ser mis 52 grados celsius en nueve minutos bajó a 44 grados celsius entonces bajó como por acá aquí es 44 y por último en 10 minutos bajó a 43 grados celsius entonces por aquí está cuando el tiempo vale 10 minutos vamos a unir los puntos para que nos dé una curva muy parecida a esta muy bien y entonces vamos a hacer otra vez el inciso a dice usa los datos de la tabla para aproximar la velocidad a la cual la temperatura del té está cambiando en el tiempo te iguala 3.5 muestra el procedimiento que te lleva tu respuesta y bueno que debe encontrar la velocidad a la cual está cambiando mi temperatura el tiempo 3.5 es ni más ni menos que encontrar la pendiente de la recta tangente en la curva al tiempo 3.5 segundos ahora bien si yo tuviera la función explícita sería muy fácil sacar la pendiente de la recta tangente usando la primera derivada pero como no tengo la función explícita lo que voy a hacer es usando los datos de la tabla aproximar está pendiente con mis dos valores más cercanos a 3.5 por lo tanto la velocidad de cambio quién va a ser pues va a ser el valor que esté evaluado en 5 - el valor que esté evaluado en 2 / pues la diferencia que hay entre 5 y 2 como esfera el promedio entre 5 menos dos la distancia que hay entre los dos y ya con esta aproximación solamente nos resta sustituir y hacer cuentas entonces vamos a hacerlo la velocidad de cambio es igual a 85 pero h en cinco valía 52 entonces de 52 menos 2 que vale 60 ya esto dividirlo entre cinco menos 2 que es 3 entonces esto es entre 3 y bueno aquí ya está muy fácil esto es lo mismo que 52 menos 60 - 8 grados celsius porque lo que estamos midiendo arriba era la temperatura entre 3 minutos o lo que es lo mismo podemos decir que en el tiempo 3.5 segundos la velocidad de cambio es aproximadamente menos 8 tercios de grados celsius / minutos y bueno es toda la respuesta del inciso y como todavía tenemos tiempo vamos a trabajar el inciso b que dice usando las unidades correctas explica el significado de 1 entre 10 de la integral definida de 0 a 10 de h de tdt en el contexto del problema usa la suma trapezoidal con sus 4 sub intervalos indicados en la tabla para estimar el valor de 1 sobre 10 el regal definida de 0 a 10 de h de tdt bueno fíjense bien el área que tenemos aquí abajo de esta curva esta área que estoy dibujando aquí es la integral definida de 0 a 10 de h de tdt y ya esta integral hay que dividirla entre 10 es decir la cantidad de unidades que hay de 0 a 10 entonces toda esta expresión que tengo aquí es ni más ni menos que el promedio de la temperatura el promedio de la temperatura la cantidad de temperatura total entre el tiempo total es el promedio temperatura y dice usar las unidades correctas que unidades va a tener esta expresión que tengo aquí bueno pues como es temperatura va a ser en grados celsius y de hecho se nota si nosotros la analizamos con calma hdt estado en grados celsius dt éste da dos minutos y aquí lo dividimos entre diez minutos entonces esto me queda minutos entre minutos se va y me queda grados celsius y ya está con esto tenemos la primera parte de nuestro inciso b después dice usa la suma trapezoidal de los cuatro subirán los indicados en la tabla para estimar el valor de 1 sobre 10 la integral de 0 a 10 de h de tdt de la íntegra que nosotros tenemos aquí y bueno como no sabemos la función explícita entonces lo que vamos a hacer es dividir esta curva que tenemos aquí en 4 sub intervalos para calcular el área de cada uno de los trapecios de estos intervalos de qué intervalo estoy hablando bueno tengo cuatro sub intervalos mi primero va a ser este y este su intervalo a su vez da un trapecio este trapecio que yo tengo aquí su base es de 0 a 2 su altura es 66 en 0 y en 260 ahorita vamos a ver qué hacemos con una altura promedio después yo voy a agarrar a mi segundo sub intervalo que es de 2 a 5 este de aquí decimos hacerlo con un color más llamativo a este de aquí y por lo tanto me da también un este trapecio y ahora con el siguiente sub intervalo que es de 5 a 9 también voy a obtener un tercer trapecio entonces tengo aquí un nuevo sub intervalo y tengo un nuevo trapecio y por último me queda el sub intervalo de 9 a 10 este de aquí y tengo un trapecio muy pequeño y ahora lo que voy a querer es estimar esta integral con mis 4 trapecios sacando el área de cada uno de mis cuatro trapecios por lo tanto vamos a hacerlo como puedo encontrar una estimación del área desde trapecio pues bueno yo tengo que de base tengo dos unidades de 0 a 2 hay dos unidades y en cero el valor es de 66 y en 2 el valor es 60 por lo tanto el promedio entre 66 y 60 es 63 si yo multiplico la base por la altura me va a dar un aproximado y 2 por 63 es 26 unidades ahora vamos con el segundo trapecio qué pasa con el segundo trapecio yo tengo que de base tengo de 2 a 5 es decir la base este trapecio es 3 de aquí acá hay 3 unidades y voy a agarrar el promedio ahora de las alturas en 260 en 5 según la tabla de 52 y 60 menos 52 es 8 por lo tanto el promedio es cuatro entonces me queda en 56 la distancia promedio entre 60 y 52 56 entonces voy a poner aquí 56 y ahora que lo multiplique por tres me va a quedar 168 vamos con el tercer trapecio en tercer trapecio tengo una base de 5 a 9 es decir cuatro unidades tengo cuatro unidades en cinco vale 52 en 9 vall de 44 y de 44 52 otra vez hay 8 unidades entonces 44 más 4 que es la mitad es de 8 me queda 48 48 por 4 x 48 y por 4 me va a quedar 8 por 4 32 más 4 por 4 16 192 ahora vámonos con el último trapecio el último trapecio tiene una base muy pequeña de 9 10 y 11 unidad y las distancias de 44 43 44 9 43 cm 10 su promedio es 43.5 por lo tanto 1 x 43.5 pues es 43.5 no hay mucho que hacerle entonces 43.5 y si sumamos el área de cada uno nuestros trapecios voy a tener una aproximación o una evaluación de mi área que hay abajo de la curva por lo tanto vamos a hacerlo me queda 126 a esto hay que sumarle 168 ya esto hay que sumarle 192 ya esto hay que sumarle 43.5 y esto es 529 punto 5 529 punto 5 muy bien y bueno este valor 529 punto 5 que acabo de encontrar es mi aproximación de la integral definida de 0 a 10 de h de tdt ahora hay que dividirlo entre 10 acabo de sacar este entre grado que yo tengo aquí una aproximación que es 529 punto 5 y ahora lo que tengo que hacer es multiplicarlo por un décimo o dicho de otra manera dividirlo en tres días porque luego yo lo que quiero es el valor de la temperatura promedio entonces vamos a hacerlo 529 entre es igual al 52.95 6 bueno eso no lo tenía que hacer con la calculadora pero bueno ya lo tenemos aquí el valor de estos 52.95 grados celsius y con esto acabó el inciso b
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