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Transcripción del video

el problema 3 sea r la región en el primer cuadrante encerrada por las gráficas fx igual a 8x cúbica y gtx igual al seno de pi x como se muestra en la figura a continuación la que tenemos al lado derecho inciso escribe la ecuación de la línea tangente a la gráfica en x igual a un medio entonces como lo hacemos vamos a un dibujo para ver qué es lo que estamos haciendo tenemos aquí a mi función y estás fx fx es igual a 8x cúbica esta función de aquí yo lo que quiero es encontrar la ecuación de la recta tangente sobre mi función f en el punto x igual a un medio entonces lo primero que quiero hacer es sustituir a ver cuánto vale el valor de f en un medio es un medio al cubo que es un octavo por 8 es 1 entonces este punto es de un medio 1 que ya lo teníamos en la gráfica de la derecha entonces solamente lo corroboramos y yo lo que quiero es la ecuación de la recta tangente en este punto en el punto 1 medio 1 de mi función efe y si yo quiero una recta una ecuación de una recta entonces que necesito pues necesito un punto de una pendiente entonces lo que necesitamos sacar ahorita es la pendiente de esta recta ahora bien para sacar la pendiente de la recta tangente a un punto en una función lo que necesito es la primera derivada en el punto que quiero yo encontrar la recta tangente esta va a ser mi pendiente de mi recta la primera derivada evaluada en un medio por lo tanto vamos a hacerlo efe prima de x 7 x es igual a 8 x kubica quien es su primera derivada pues su primera derivada es 24 x cuadrada y ahora si esto lo evaluó en un medio me queda 24 por un medio al cuadrado primero al cuadrado es un cuarto entonces es 24 por un cuarto que esto es 6 la pendiente de mi recta tangente en x igual a un medio es 6 entonces m es igual a 6 ya tengo mi pendiente y ahora sí sí ya tengo una pendiente y ya tengo un punto ya puedo encontrar la ecuación de mi recta que es igual a la pendiente por x + b y es aquí en mi ecuación ordenada al origen donde yo voy a sustituir mi punto mi punto es un medio 1 entonces voy a sustituir cuando llegue vale 11 es igual a la pendiente que vale 6 por x pero x en este caso vale un medio ya esto le tengo que sumar b y bueno esto vamos a resolverlo cuánto vale el valor de veces y tengo números pues uno es igual a seis por un medio que es tres más b y si yo paso el 3 del otro lado o si yo restó desde ambos lados 3 me queda que menos 2 es igual a b y por lo tanto ya tengo en la ecuación de mi recta que es 6x menos 2 y igual a 6x menos 2 es la respuesta del inciso a por lo tanto vamos con el inciso b encuentra el área de r encuentra el área de la región r la región r es la que está entre las dos curvas que curvas pues está abajo de la curva seno de px y arriba de la curva 8x kubica entonces yo lo que quiero es la región r por lo tanto vamos a hacerlo entonces voy a tratar de bajar un poco la pantalla para poderlo resolver y bueno aquí para que se vea la gráfica y yo lo que quiero si le insisto ve que es el área y el área como se saca entre dos curvas pues es la integral definida de donde donde de cero hasta medio hasta un medio que es mi valor donde se encierra mi mi región hervé este valor de aquí es un medio entonces la integral de cero a un medio de la diferencia de las funciones de la función que está arriba que es seno de px que por cierto océano de pie que hice de la función de x entonces vamos escribirlo a la integral de cero a un medio de la función de arriba que era seno de x voy a ponerlo aquí seno de px y bueno todo esto todo en la integral va a ser de x entonces le voy a poner aquí de x y bueno hay que tener cuidado porque si yo estoy sacando la integral de cero a un medio de este no de px estoy sacando toda esta área bajo mi curva seno de px y yo lo que quiero es quitarle el área que estoy dibujando de morado de color lila menos hay que quitarle el área que está abajo de la curva fx la curva de fx era 8x cúbica y ya está lo único que hay que hacer es evaluar esta integral entonces vamos a hacer lo voy a dibujar una línea aquí porque esto ya está haciendo un lío bien y así va a ser más ordenado cuál es la integral de seno de px bueno pues la integral del seno es el menos coseno sin embargo yo tengo un pin que me estorba yo tengo x entonces para yo poder resolver este integral lo que necesito es multiplicar y dividir por pi entonces la integral de seno de px es menos uno entre pi por el coseno de pi x y si tú quieres saber por qué me quedo menos uno entre picos en nueve px vamos a intentar hacerlo con un poco más de calma entonces yo tengo el integral del seno de px pero yo lo que necesito es la derivada de lo de adentro es como la regla de la cadena y la derivada de pi x sspx y entonces lo que realmente estoy haciendo es multiplicando por pi y dividiendo todo por pi por qué / p es uno entonces el pis se va con el seno de px y entonces al integrar el seno me da al menos coseno pero yo tengo uno entre pilla fuera entonces me queda menos uno entre pri por coseno de pío x que es integral del seno de px de hecho si tú no me crees o en dado caso si tú quieres hacerlo sería muy bueno que lo hicieras a mano ahora bien también la otra opción es que tú puedas derivar el coseno de px si tú derivas menos uno entre sí por coseno de px te va a dar ni más menos que el seno de px y bueno a esto hay que quitarle la integral de 8x cúbica que es 2x cuarta la integral de x cúbica es x cuarta entre cuatro pero por ocho porque queda 28 entre 4 es 2 y me quedan menos 2 x 4 y bueno también puedes tú derivar menos 2 x 4 y vas a ver que te va a quedar 8 x cúbica y bueno todo esto evaluado en cero y en un medio entonces primero vamos a hacerlo en un medio si yo tengo en un medio me queda uno entre pi por el seno de medios ahora tenemos cuando se cuestionen pri medios menos dos por un medio a la cuarta que es uno entre dieciséis y bueno a esto hay que quitarle la evaluación en cero entonces vamos a hacerlo menos uno entre pi por consejo de por cero entonces me va a quedar le voy a escribir una vez menos uno entre pi por el coseno de pi por cero y a esto le voy a quitar menos dos por equis a la cuarta pero bueno de hecho una vez vamos escribirlo a menos dos por exceda cuarta pero el valuado en cero me queda 0 y ok vamos a simplificar un poco más esto yo tengo menos 1 el triple por coste no de primer dios pero cuesta 9 prime dioses pero entonces 0 por lo que sea vámonos esto no me sirve menos 2 por 1 entre 16 pues es lo mismo que menos un octavo ya esto hay que quitarle menos 1 entre people coseno de pi por 0 por 0 0 entonces coseno de 0 1 y eso me quedan menos 1 entre p -0 pues pues no no es necesario poner nada y esto es igual a menos un octavo más uno entre pin y de hecho podemos simplificar lo tal vez un poquito más sin embargo lo voy a dejar así ya tengo ahora si la respuesta de inciso ven el área que está entre las dos curvas el área de la región r es menos un octavo más uno entre pin así que en el siguiente vídeo resolveremos el inciso c
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