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Transcripción del video

inciso se escribe pero no evalúe es una expresión para la integral del volumen del sólido de revolución generado por r esta es la región r cuando gira alrededor de la recta horizontal y es igual a 1 entonces vamos a poner la recta aquí igual a 1 va a ser esta de aquí y bueno la idea para resolver este problema va a ser la siguiente primero me quiero fijar qué pasa con la función inferior es decir una función fx si yo giro esta función alrededor de la recta y igual a 1 alrededor de esta recta entonces voy a obtener un sólido de revolución y la idea es la siguiente me voy a fijar y voy a analizar con calma la función fx cuando quiera alrededor de la recta e igual a 1 y después le voy a restar el sólido de revolución que me queda al girar la función superior es decir la función de x esa va a ser la idea de cómo vamos a resolver este problema entonces fijémonos primero en fx como sacó estudios de revolución al cuidar fx alrededor de la recta y igual a uno bueno pues con el método de los discos el método de los discos lo habíamos visto en la sección de cálculo en sólidos de revolución y bueno entonces yo voy a crear un disco con este pequeño rectángulo muy delgado que tengo este es el radio y entonces este pequeño rectángulo esta pequeña hebra la voy a girar alrededor de la recta y igual a 1 y así voy a formar un disco entonces este va a ser mi disco dibujemos el disco bien y este disco tiene un cierto grosor entonces voy a poner su grosor es su profundidad por así decirlo esta es su profundidad bueno de hecho creo que lo puedo dibujar un poco mejor que esto no lo voy a borrar porque mejor voy a dibujarlo así esta es la profundidad o el ancho o el grosor de este disco bien y bueno este grosor de una vez lo voy a poner nombre este grosor es de xy yo lo que quiero es que este grosor sea muy pero muy delgado muy pequeño y bueno atrás lo que vamos es el volumen de este disco pero antes de sacar el volumen de este disco lo primero que necesito es sacar el área de una de las caras de este disco y se dan cuenta sacar el área de una de estas caras es sacar el área de un círculo o sea pi por radio al cuadrado pero quien es el radio que se cuenta que el radio de este disco es esta distancia de aquí a camps que es más o menos que la recta 1 - la función fx el radio de este disco es la recta igual a 1 - la función fx y eso es lo que estamos haciendo girar por lo tanto ya podemos sacar el área de este disco quien va a ser el área spears por radio al cuadrado porque es un círculo y esto es lo mismo que pi por el radio pero el radio vale 1 fx y todo esto lo tenemos que elevar al cuadrado porque es el área de un círculo ahora si lo que quiero es el volumen de este disco pues hay que multiplicarlo por el ancho del disco es decir por de x muy bien pero ya tengo el volumen de uno de los discos realmente yo lo que quiero es el volumen del todo el sólido de revolución y para eso lo que hacíamos eran dos cosas importantes primero me voy a tomar la suma de todos los demás discos la suma de este disco también este disco que se formaría aquí también de este otro disco también y voy a tomar todas las sumas de ellos y además voy a hacer que estos discos sean infinitamente delgados por lo tanto el volumen va a ser igual a la suma de todos ellos es decir la integral de donde donde de cero a un medio de cero a un medio de pi por la función uno menos fx elevado al cuadrado este es el área de uno de mis discos este es el área de uno de mis discos y hay que multiplicarlo por de x para que es el volumen de uno de mis discos y bueno al tomarme la integral de cero a un medio estoy tomando el volumen de todos los discos desde x igual a cero hasta x igual a un medio muy bien por lo tanto ya tengo el sólido de revolución el volumen del sólido de revolución aquí me faltaba un pequeño de equis para que se cumpliera esta igualdad pero ya lo tengo bueno y entonces ya tengo el volumen de mi sólido de revolución al girar la función f x alrededor de la recta igual a 1 por lo tanto este volumen es el volumen de fx muy bien volumen subíndice efe y ahora voy a sacar el volumen subíndice g pero se dan cuenta es lo mismo a la función game y la voy a hacer girar alrededor de la recta de igual a 1 por lo tanto también voy a obtener un sólido de revolución y el volumen de este sólido de revolución pues también es la integral de cero a un medio de ese cuenta que también la función que llega hasta un medio de pi por 1 - gdx es casi igual que el otro volumen es el radio que es 17 x este radio 17 x elevado al cuadrado porque es el área y x tx y ya con esto tengo la suma de todos los volúmenes de cada uno de los discos de gm pero bueno lo que nos pide el inciso c es una expresión para la integral que define el volumen del sonido de revolución generado por la región r al girar alrededor de esta recta desde cuenta que la región r es más o menos que la función de x menos la función fx por lo tanto si yo quiero el volumen de este sólido de revolución va a ser la diferencia de los dos volúmenes es decir la integral de cero medio de pi por uno menos fx elevado al cuadrado de x menos la integral del cero a un medio the people 17 x todo esto elevado al cuadrado de x lo que estoy haciendo realmente es más ni menos que restar los dos volúmenes el volumen del sol y de revolución generado por efe - el volumen del suelo de revolución generador por ejemplo y esto lo podemos significar un poco esto es people integral de ser un medio de se cuenta que pies factor común y lenta ideal para los mismos límites de integración de 1 - f x elevado al cuadrado menos 17 x elevado al cuadrado y todo esto todo esto multiplicado por de x y bueno aunque aquí ya tenemos la expresión para esta integral podemos sustituir a fx iag x con las funciones que tenemos aquí arriba fx era estar aquí gx es esta de aquí por lo tanto vamos a ponerlo esto es lo puedo poner como pi por la integral de cero a un medio por la función 1 - efe x pero fx era 8 x al cubo todo esto elevado al cuadrado menos paréntesis uno menos seno de pi x todo esto elevado al cuadrado esto de equis y ya está aquí tenemos la respuesta del inciso c y también vemos porque no querían que tuviéramos la molestia de evaluar y resolver está integral
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