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Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta 4a

Respuesta libre a la pregunta 4a: calcular derivadas e integrales de funciones definidas de forma extraña. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

la función continua efe está definida en el intervalo menos 4 menor o igual que x menor o igual que 3 la gráfica de f consiste en dos cuartos de círculo y un segmento de línea estos son nuestros cuartos de círculo y este es un segmento de línea como se muestra en la siguiente figura en la figura que les acabo de mostrar bueno sea gtx igual a 2 x más la integral de 0 a x df de tdt esta función que de x parece ser que va a ser muy interesante bueno vamos a resolver el inciso a encuentre g de menos 3 entonces queda menos 3 es igual como está definida g bueno que está definida como 2 veces x o sea 2 x menos tres más la integral de 0 a x pero x vale menos 3 entonces es la integral de cero menos tres de mi función efe dt de t bien en la primera parte está muy sencilla de hacer 2 x menos 3 es menos 6 entonces menos 6 más la integral de 0 a menos 3 df de tdt y esto esencialmente quiere decir que queremos el área que está bajo mi función efe dt de 0 a menos 3 recuerden que mi integral definida me habla de un área abajo en la curva abajo mi función de fx delimitada por el eje de las x sin embargo hay que tener cuidado no hay que caer en la trampa porque esta área que yo tengo aquí esta de aquí es la integral de de menos tres a cero de f de tdt esta área que yo tengo aquí es integral de menos tres a cero de fp de t porque recuerden que siempre el número menor tenía que ir abajo de la integral y el número mayor tenía que ir arriba de la integral y aquí tengo una integral de cero a menos 3 lo tengo como que volteado invertido los índices de la integral por lo tanto voy a cambiarlo como se cambia pues esto es lo mismo que menos seis menos menos la integral de menos tres a cero de f dt cuando yo quiero cambiar los índices de integración lo que necesita ponerle es un signo de menos antes de la integral y ahora si la integral de menos tres a cero df de tdt es esta área que yo tengo coloreada y si se dan cuenta y tienen un poco de idea de geometría es un cuarto de un círculo que de hecho tiene un radio igual a 3 tenemos tres unidades de menos tres a cero y si esta área es un cuarto del área de un círculo cuyo radio tiene tres unidades entonces quién va a ser pues el círculo completo tendría pi o radio al cuadrado o sea y por tres al cuadrado o sea en 9 pi pero como solamente queremos un cuarto de círculo hay que dividirlo entre cuatro y bien ya tenemos por fin el resultado o la respuesta de mi primera parte del inciso a de este problema es decir menos seis menos nueve entre cuatro ahora sí vamos a la segunda parte en la segunda parte nos piden que encontremos ag prima de x ya tenemos la primera parte la primera parte queda que de menos 3 que es menos 6 + 9 y entre 4 y ahora me piden encontrar que prima de x bien prima de x pero entonces hay que derivar de x pero detrás de gx primero es la derivada de 2 x que es 2 estoy muy sencillo y después quiero la derivada de la integral de 0 a x df de tdt pero por el teorema fundamental del cálculo esto es simplemente efe x el teorema fundamental del cálculo está involucrado aquí y ya tenemos la segunda respuesta por fin tenemos que que prima de x es igual a dos más fx perfecto y yo es lo que quiero ahora para acabar este inciso es que prima evaluado en menos tres que esto es 2 más efe evaluado en menos 3 pero quién es esto estos dos más efe evaluado en menos 3 pero aquí en este elevado al menos 3 nos damos cuenta efe en menos 3 como es continua es simple y sencillamente 0 se dan cuenta es este punto que estaba aquí es 0 y esto es 2 + 0 que es 2 y ya por fin tenemos la tercera respuesta del primer inciso de este problema y si se dan cuenta y acabamos el primer inciso de este problema ya tenemos sus tres partes y de hecho lo más difícil o tal vez lo más tramposo de este inciso fue evaluar los límites de integración es decir que la integral de menos tres a cero df de tdt al menos la integral de 0 a menos 3 d efe de tdt