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Contenido principal
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Transcripción del video

inciso b determina la coordenada x del punto en el que g tiene un máximo absoluto en el intervalo menos 4 menor o igual que x menor igual que 3 justifica tu respuesta ok antes de empezar a resolver este inciso como tal quiero hablarles de términos generales supongamos que yo tengo una función cualquiera así que voy a dibujar un plano cartesiano y recuerden que esta función es una función cualquiera no es mi función g de cuya derivadas esta gráfica que tenemos a la derecha entonces supongamos que este plano cartesiano y este verde va a ser mi intervalo en el cual quiero buscar el máximo absoluto de mi función entonces qué casos tengo mi primer caso va a ser que mi función sea de este estilo es decir que el máximo absoluto se encuentre al inicio del intervalo donde está definida mi función mi segundo posible caso va a ser que mi función sea de este estilo es decir que en un máximo absoluto se encuentra al final del intervalo donde está definida mi función y mi tercer y último caso va a ser que mi función sea de este estilo así bien es decir que mi máximo absoluto esté en un punto crítico de mi función definida en ese intervalo aunque estoy diciendo un punto crítico entre comillas porque no forzosamente la derivada tiene que ser cero podríamos tener una función de este estilo algo parecido a esto una función picuda en cuyo caso no es diferenciable sin embargo el máximo absoluto se encuentra en este punto y entonces ya tenemos el menú para el inciso b que estamos viendo en este vídeo lo primero que vamos a hacer es ver el valor de g en sus puntos extremos es decir en su punto inicial y en su punto final y después vamos a ver si tiene un punto crítico distinto a estos puntos extremos y encontrar el valor de g en ese punto crítico así que empecemos de una vez con este ejercicio lo primero que voy a hacer entonces es evaluar que en sus puntos extremos primero voy a empezar con el punto inicial con x igual a menos 4 entonces quienes queden menos 4 pues vamos a sustituir en g 2 x menos 4 más la integral de 0 a menos 4 de ft dt recuerden cada vez que yo veo a x pongo menos cuatro y todos x menos 4 pues es muy sencillo es menos 8 mejor lo voy a borrar y lo voy a poner de corrido para ahorrar lo más que se pueda despacio menos 8 más y quién es esta integral de 0 a menos cuatro df de tdt esto lo vimos en el primer inciso en el vídeo pasado recuerden que cuando tenemos los índices de integración volteados es decir en la parte de arriba el índice de integración pequeño y en la parte de abajo y de integración mayor entonces para corregir este error lo que hay que hacer es poner un signo de menos esto es lo mismo que menos la integral de menos cuatro a cero de efe de t dt y así va a ser mucho más fácil resolver esta integral pero bueno quién es esta integral que tenemos aquí esta integral es el área que hay entre el eje de las x en curva efe entonces dese cuenta que esta área se divide en dos en un círculo pequeño en un cuarto en un círculo pequeño y un cuarto de un círculo grande sin embargo la primera área la área del círculo pequeño es una área negativa porque porque está bajo d de las x mientras que la segunda área es un área positiva por lo tanto lo que voy a hacer es tomar el área de positiva ya esta área restarle el área negativa bien pero esta área de menos 3 a 0 ya le habíamos sacado en el primer inciso en el vídeo anterior esta área correspondía a un cuarto de un círculo de radio 3 pero ten en cuenta que son dos cuartos de círculo un círculo cuyo radio estrés este círculo grande entonces voy a poner un cuarto que multiplica a un círculo cuyo radio es 3 cuál es el área de un círculo cuyos radios 3 pues es 9 porque el área spears por radio al cuadrado o sea por 3 al cuadrado 9 bien y ahora hay que quitarle el área negativa pero la negativa es un círculo mucho más pequeño no voy a dibujar aquí es este círculo que tengo aquí cuyo radio es 1 cuál es el área de un círculo cuyo radio es 1 pues va a ser pi por radio al cuadrado o sea y por 1 al cuadrado o sea p entonces hay que quitarle pi y recuerdan que este un cuarto de afuera es x solamente tenemos un cuarto de círculos de cada uno de los dos ahora sí nueve pies ocho y ocho por un cuarto pues es dos pi entonces esto se puede simplificar un cuarto por nueve menos pi es lo mismo que un cuarto por ocho piqué es lo mismo que dos p entonces todo esto lo voy a cancelar para poner 2 espn y ahora sí que tengo pues que de menos 4 va a ser igual a menos 8 menos 2 para que de hecho quien sabe que el número sea este es como menos 14 punto y algo no lo sé pero el chiste es que es negativo es un punto negativo bueno ahora vamos a ver qué pasa en el otro extremo de mi función en mi parte final de mi función y como el intervalo está definido de menos 43 voy a tomar g de 3 y quién es que de tres jueces dos por tres más la integral de cero a tres de efe de t de t esto es por la definición de g y ahora sí dos por tres es 6 y la integral de 03 df de tdt pues es esta área - esta área de acá sin embargo si se dan cuenta estas dos áreas se anulan porque esta área es positiva y esta área es negativa y es la misma área están delimitadas por el eje de las equis y como corta esta recta en 1.5 estas dos áreas son iguales por lo tanto todo esto es cero entonces g de 3 es simple y sencillamente 6 lo que nos da también una idea de que deje de menos 4 ya no nos sirve porque era un número negativo y ya encontramos un valor mayor a este número negativo que teníamos si 6 es mucho más grande que menos 8 menos 2 p por lo tanto que de menos 4 ya no es candidato para ser el máximo absoluto en ese intervalo sin embargo no hemos acabado ya nos falta la última parte que es calcular si que tiene puntos críticos y ver cuánto vale que en esos puntos críticos para sacar dos puntos críticos primero tenemos que ver si es viable o no así que intentemos calcular su primera derivada la derivada de 2x es 2 y la derivada de la integral de 0 x df de tdt por el teorema fundamental cálculo es efe de x y se dan cuenta que hay algo muy importante que no está diciendo esto la derivada de g de x está definida para cualquier punto por qué pues porque 2 está definido y fx está definido para cualquier punto ojo fx no es derivable en todos los puntos tiene picos sin embargo fx si está definido para cualquier punto por lo tanto g prima de x está definido para todos los puntos entonces la primera derivada de g existe y más aún estamos dándonos cuenta que los puntos críticos los vamos a obtener haciendo la primera derivada de g igual a 0 entonces 2 fx es igual a 0 cuando lo voy a escribir mejor en la parte de arriba 2 más fx tiene que ser igual a 0 y de aquí yo tengo que fx tiene que ser igual a menos 2 y entonces la pregunta va a ser para que valores de x f x es igual a menos 2 si obtenemos los valores de x entonces la primera derivada de que va a ser igual a 0 y sería en un punto crítico a ver entonces fx es igual a menos 2 voy a hacer una línea por aquí que me diga que fx es igual a menos 2 y dense cuenta si yo empiezo por aquí esto no vale menos 2 esto no vale menos 2 3 no vale menos 2 esto no vale menos el único punto donde vale menos 2 es este que está sobre una línea recta y si nos acercamos es como 2.5 o algo no no sé lo que sí podemos hacer es calcular este valor dada la recta que tenemos en nuestra gráfica de fx entonces eso es lo que vamos a hacer para obtener la ecuación de la recta que está en fx voy a necesitar primero una pendiente recuerden que la pendiente es cambio de y entre cambio de x entonces quien es el cambio de x x es de 0 a 3 o sea 3 unidades y el cambio en que son 6 unidades de tres a menos tres pero negativas porque la recta va hacia abajo y bueno la pendiente es cambio en y entre cambio en x es lo que desciende entre lo que avanza y esto va a ser pues menos 6 entre 3 que es menos 2 ya tengo aquí la pendiente entonces la recta va a tener la ecuación y es igual a menos dos más donde corta en el eje de las diez y corta en el eje leyes en el punto tres entonces va a ser más tres y entonces ya tenemos la ecuación de la recta y es igual a menos 2 x 3 pero para que queríamos esta recta a pues porque esta recta va a pasar tarde o temprano por el valor de fx igual a menos 2 entonces si nosotros igualamos esta recta a menos 2 vamos a obtener así el valor de x tal que fx sea igual a menos 2 y ese valor de x va a ser aquel que haga mi prima igual a cero entonces metros 2 x 3 es igual a menos 2 y recuerden que estamos haciendo igualdad porque nuestro intervalo de menos 4 a 3 el único punto en donde fx es igual a menos 2 es en esta línea recta por lo tanto menos 2 x 3 es igual a menos 2 y vamos a seguirlo acá abajo para resolver esta igualdad si yo el resto de los dos lados menos 3 obtengo que menos 2 x es igual a menos 5 y si yo divido los dos lados entre menos 2 obtengo que x es igual a menos 50 menos 2 o dicho de otra manera x es igual a 5 medios que por cierto era el valor que saque al tanteo pero bueno este valor de 5 medios lo que hace es que he primate x sea igual a 0 es decir este es un valor crítico por lo tanto lo que yo tengo que calcular es g de cinco medios y ver si es más grande que g de tres ahora te voy a comprar es que de tres con que de cinco medios para ver quién es más grande y así obtener el máximo absoluto entonces que de cinco medios quienes ambos por definición deje es dos por cinco medios más la integral de cero a cinco medios y bueno 2 x 5 medios es muy fácil este 2 con este 2 se cancela y solamente me queda 5 entonces esto es igual a 5 más la integral de 0 5 medios df de tdt pero ya tenemos la función de 0 a 5 medios era la recta entonces va a ser mucho más fácil en lugar de poner efe de poner la recta que ya teníamos y así integrar con respecto a esta recta entonces va a ser lo mismo que la integral de 0 a 5 medios de menos 2 x 3 dt y esto quien es pues esto es igual a vamos a hacer una línea para acá a 5 más y voy a poner aquí en paréntesis quien es la integral de esto pues esto es la integral de la integral de menos 2 x es menos 2 x cuadrada entre 2 o sea dicho de otra manera es menos x cuadrada más la integral de 3 es pues 3x entonces más 3 x y esto evaluado en cinco medios y cero bien pues vamos a hacer la evaluación esto es igualdad 5 + esto de aquí va a ser primero lo voy a evaluar en cinco medios voy a obtener menos cinco medios al cuadrado que es menos veinticinco cuartos entonces menos veinticinco cuartos más tres por cinco medios que son quince medios ya esto le tengo que quitar el valor en cero pero en cero pues no hay nada entonces no hay que quitarle nada bien y pues vamos a hacer la operación que está aquí para esto es sacar el mínimo común múltiplo entre 14 y 2 que es 4 y entonces me queda que 5 es lo mismo que 20 cuartos entonces lo voy a escribir como 20 cuartos más bien menos a 25 cuartos - más 15 medios que es lo mismo que 30 cuartos y bien en cuanto es esto pues 2030 son 50 cuartos menos 25 es 25 cuartos entonces esto es igual a 25 cuartos o dicho de otra manera esto es lo mismo que 6 enteros un cuarto y ya obtuve el valor paraje de 5 medios y ahora sí que podemos concluir porque seis enteros un cuarto es mucho más grande que el valor de seis y que también es mucho más grande que el valor de menos ocho menos dos pi por lo tanto el valor de x queda un máximo absoluto en la función g en el intervalo menos 4 menor o igual que x menor o igual que 3 es la equis igual a cinco medios x igual a cinco medios
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