Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta #5c

inciso se encuentra una solución particular de w igual la w de té a la ecuación diferencial derivada de w con respecto al tiempo igual a un 25 años de w menos 300 con la condición inicial w en 0 es igual a mil 400 mil 400 toneladas porque las unidades que teníamos eran toneladas bien seguramente tú me vas a decir oye sal eso está muy difícil como pueden poner una ecuación diferencial si yo no he tomado el curso de ecuaciones diferenciales yo solamente ese cálculo y el curso para presentar los exámenes tipo a ve que puedo yo hacer para responder éste esta pregunta y yo te voy a contestar en tu curso de cálculo abt tuvieron que haber enseñado cómo resolver ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables si de plano no tienes ni idea de lo que estoy hablando entonces lo vamos a ver aquí no te preocupes yo tengo la derivada de w con respecto al tiempo igual a un 25 ago de w menos 300 el método que voy a utilizar es el método de separación de variables aquí yo tengo a mi w yo lo que necesito es resolver esta ecuación diferencial y encontrar una función w que dependa del tiempo y bueno la idea es pasar todo lo que tengan que ver con w de un lado de la ecuación y todo lo que tenga que ver con el tiempo del otro lado de la ecuación entonces qué pasa si yo multiplico todo por uno entre el doble un menos 300 pues me queda uno entre w300 que multiplica la derivada de w con respecto al tiempo y del otro lado doble un menos 300 entre 2 la unión 300 se va y solamente me queda 1 entre 25 bien y ahora qué pasa si multiplico todo por dt entonces multiplicó por aquí y por acá por dt y me queda del lado izquierdo de la ecuación se van los diferenciales dt y entonces solamente obtengo diferencial de w / w 2 300 y del otro lado pues me queda un 25 ambos diferencial de t entonces vamos a ponerlo 1 / w nos 300 diferencial de w es igual todo esto diferencial de w es igual a un 25 lo voy a poner de otro color por diferencial del tiempo y ahora hay que tomar la integral de ambos lados y si podemos tomar esta integral debido a que tenemos uno entre doble unos 300 por el diferencial de w igual a 1 entre 25 por el diferencial de t es decir tenemos una función por el diferencial de w es igual a otra función por el diferencial de t y si tomamos todas las sumas de cada uno de los diferenciales de w y todas las sumas de todos los diferenciales de t es decir de todos los pequeños cambios de w y todos los pequeños cambios de t entonces esta igualdad se mantiene por lo tanto la integral si la podemos tomar a pues bueno vamos a ver quién es la integral de 1 / w menos 300 por diferencial de w voy a tomar una nueva función o como doble un menos 300 seguramente esto ya lo puedes ser en tu cabeza pero si no lo sabes hacer vamos a hacerlo con calma tienes la derivada de v con respecto a w pues bueno la derivada de eu con respecto a w pues es la derivada de w que es 1 y la derivada de 300 que cero sea 1 bien entonces ahora qué va a pasar si yo multiplico ambos lados por la diferencial de w me va a quedar diferencial de eeuu es igual a diferencial de w entonces voy a escribir esta integral con términos de v me va a quedar la integral de 1 entre 1 por la diferencial de 1 por la diferencia de abu la diferencial de w son lo mismos y r guardan w menos 300 solamente puesto todo lo que ya sé y ahora si una de las integrales más importantes que hay y que hay que saberse de memoria es la integral de 1 entre un diferencial de buques el logaritmo natural del valor absoluto de un pero uno era igual a w menos 300 entonces vamos a ponerlo logaritmo natural de w menos 300 y ya tengo la primera integral la integral del lado izquierdo entonces 1 de unos 300 diferencial de w de hecho a veces puede ser muy fácil la función doble unos 300 su derivada es uno y por lo tanto me queda el logaritmo natural de el valor absoluto de doble o menos 300 entonces vamos a ponerlo aquí la integral del lado izquierdo es igual a logaritmo natural del valor absoluto de w menos 300 y bueno del otro lado que tengo la integral de 1 entre 25 de diferencia al dt y esto es algo muy sencillo es una vez integrada es muy básica es porque la constante salida integral y solamente me queda la integral desde que esté entonces le queda 1 entre 25 por teo de entre 25 ya esto hay que sumarle una constante de integración recuerden que cuando integramos aparece una constante la podemos poner de un lado de otro de hecho imagínense que la ponemos de un lado y de otro recuerden que si yo tengo una constante a un lado y del otro y al final yo paso del otro lado la constante pues me quedaría hacer dos menos uno que es un hace tres casi nada es una constante recuerden que la suma y la resta de constantes es una constante entonces solamente es necesario ponerlo de un lado l bueno ahora ya tengo esta igualdad expresada aquí y yo lo que tengo que hacer son dos cosas uno escribirá a w como función del tiempo y dos saber cuánto vale esta constante con mis condiciones iniciales entonces primero voy a sacar el valor de la constante para esto voy a utilizar las condiciones iniciales que me daban acá arriba las condiciones iniciales decían que cuando que ya sabemos que w de cero es igual a 1.400 toneladas w de cero es igual a 1.400 toneladas y bueno esto lo voy a utilizar ahorita porque porque yo voy a sustituir a w ya el tiempo para obtener la constante logaritmo natural de 1400 w vale 1400 menos 300 todo esto en valor absoluto es igual al tiempo que vale 0 por las condiciones iniciales 0 entre 25 0 + una constante y ahora sí logaritmo natural de 1.409 300 que es mil 100 del valor absoluto de 1100 es igual a la constante para de hecho 1100 pues ya su valor absoluto es el mismo entonces la constante es igual a logaritmo natural de 1100 jazz en el valor absoluto porque pues es necesario cargar con él y bueno ya tengo la constante ahora lo que quiero es intentar escribir a w como función del tiempo ya con esto acabaría este problema entonces vamos a intentar hacerlo el logaritmo natural del valor absoluto de w menos 300 y ahora que lo pienso no es necesario poner forzosamente el valor absoluto porque w es una función creciente siempre es creciente y además empieza en 1400 entonces 1.400 nuevos 300 siempre va a ser un número positivo y a partir de ahí que crezca mi función cualquier número mayor de 1.400 nuevos 300 también va a ser un número positivo entonces yo creo que podemos que tener valor absoluto y poner mejor logaritmo natural de w menos 300 es igual a un tv entre 25 más la constante por la constante es el logaritmo natural de 1100 bueno pero estamos atrás de w lo que queremos es a w como función del tiempo entonces lo que me estorba es el logaritmo natural para deshacernos del lugar y tú natural lo que yo voy a hacer es agarrar la función exponencial de ambos lados de la igualdad entonces me va a quedar elevado el logaritmo natural de w300 es igual a elevado a la t entre 25 más el logaritmo natural de 1100 y bueno ahora me estorba esto entonces voy a borrarlo si para tener más espacio voy a borrar esto bien y ahora que me queda la exponencial con el logaritmo se van son funciones inversas por lo tanto se cancelan y solamente me queda w un menos trescientos entonces es exponencial y logaritmo vámonos de aquí y me queda solamente doble un menos 300 y del otro lado que me va a quedar elevado a la t entre 25 más del logaritmo natural de 1100 es lo mismo que a la de entre 25 x al logaritmo natural de 1100 esto es por las leyes de los exponentes recuerden que a la b x al hacer lo mismo que a la p más c entonces estos dos son iguales bueno ahora ya casi tengo w lo único que me estorba primero es el logaritmo natural de 1100 es ni más ni menos que 1100 el logaritmo otra vez se va con exponencial entonces se cancele me quedan 1100 entonces w menos 300 es igual a 1100 que multiplica a la t entre 25 y ahora si estoy a punto de despejar a w me estorba el 300 voy a pasar del otro lado sumando 1100 alarte entre 25 más 300 y aquí lo tienen hemos resuelto esta ecuación diferencial con una solución particular al obtener el valor de la constante y darse cuenta que no era necesario saber todas las herramientas difíciles de ecuaciones solamente necesitamos un poco de conocimiento de cálculo y saber integrar