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Transcripción del video

la tasa a la que cae el agua de lluvia por una tubería de desagüe está modelada por la siguiente función r dónde r dt es igual a 20 veces el seno de t cuadrada entre 35 pies cúbicos entre horas que está medido en horas y 0 es menor o igual que te menor igual que 8 entonces te está entre 0 y 8 la tubería de desagüe está parcialmente bloqueada permitiendo que el agua se drene al otro extremo de la tubería con una taza modelada por la función de dtm es igual y tenemos esta función menos 0.04 t pública más 0.4 de cuadrada más 0.96 este pie cúbico entre ahora para en el mismo intervalo si es igual a 0 hay 30 pies cúbicos de agua en la tubería de desagüe entonces el inciso am nos preguntan cuántos pies cúbicos de agua de lluvia fluyen a través de la tubería durante las ocho horas es decir durante el intervalo de tiempo cero menor o igual que t menor o igual que ocho entonces veamos qué te parece si dibujamos primero un poco la tubería para que sea más visible todo este problema así que por aquí voy a dibujar a mi tubería supongamos que es esta de aquí tengo por aquí a mi tubería y bueno esta tubería tiene una tasa de entrada de bueno aquí lo dice la tasa de entrada es r dt así que esta tubería fluye una cierta cantidad de agua con una tasa de e de té y bueno por otra parte también nos dice que el agua fluye hacia afuera de ella con una taza de té entonces también el agua fluye hacia fuera con una taza de té bien y también nos dicen que cuando el tiempo es igual a cero hay treinta pies cúbicos de agua en la tubería de desagüe este es el dato de lo que pasa justo en el principio y bueno aquí ya tenemos la tasa de entrada la tasa de salida y entonces nos preguntan cuántos pies cúbicos de agua de lluvia fluyen a través de la tubería durante las ocho horas bueno si tenemos la tasa la tasa a la que fluye el agua hacia dentro de la tubería y nos la dan en pies cúbicos sobre hora entonces a esta tasa que es r dt a esta tasa que es r dt vamos a multiplicar la por pequeños muy pequeños cambios en el tiempo por cambios infinitesimalmente pequeños de tiempo es decir por de de tema entonces esto nos da la cantidad de agua que fluye hacia dentro en un pequeño cambio en el tiempo entonces lo que vamos a querer hacer es sumar todas estas cantidades a lo largo de cambios muy pequeños en el tiempo desde el tiempo te iguala 0 hasta el tiempo te igual a 8 así que esta expresión que tengo aquí es la que nos va a dar la cantidad de agua de lluvia que fluyen a través de la tubería que es justo lo que estamos buscando y una vez más lo que estoy diciendo aquí es bueno primero observar que el dt dt es la cantidad de agua que fluye hacia dentro de la tubería en un intervalo muy pequeño de tiempo dt y después nos vamos a tomar la suma de todos ellos desde el tiempo de igual a cero hasta el tiempo de igual a 8 esta es la definición de una integral definida entonces esto tiene que ser igual a bueno a la integral de 0 a 8 drt pero el dt es esto de aquí 20 veces el seno de la función bueno te cuadrada de cuadrada entre 35 y esto x de t y ahora para nuestra suerte podemos usar la calculadora en esta parte de la sección del examen de ap así que voy a traer por acá mi calculadora que me va a ayudar a resolver esta integral definida y bueno para resolverla los pasos son los siguientes primero vamos a seleccionar esta parte donde dice más aquí lo tenemos y nos vamos a ir al número 9 al número 9 que dice fn integral lo que quiere decir integral definida sobre una función así que vamos a presionar esta opción y ahora la forma en la que se meten los datos es la siguiente primero pones los datos de tu función es decir de esta función que tengo aquí después la variable a la que queremos integrar la variable bajo la cual tomaremos la integral y por último tomaremos los límites de la integral entonces esto nos quedarían 20 que multiplica al seno de iu bueno por aquí está la t entonces dt elevado cuadrado esto dividido a su vez entre 35 ok ahora cerramos los paréntesis de la expresión a la cual le vamos a aplicar el seno y después hay que poner una coma la variable bajo la cual tomaremos la integral la cual esté muy bien y después de que poner una coma y los límites de integración en este caso los límites de integración es 0 y es 8 y después cerramos paréntesis ojo aquí tenemos el límite inferior y aquí tenemos el límite superior y ahora sí se presionamos enter ya lo tenemos llegamos a 76 punto 57 0 entonces esto es aproximadamente déjame ponerlo aproximadamente 76 punto 57 bien esta es la respuesta del inciso a de este problema muy bien así que ahora vamos al inciso b que es justo este que tenemos aquí la cantidad de agua en la tubería está creciendo o decreciendo en el tiempo te iguala 3 justifica tu respuesta bien ahora queremos saber qué es lo que pasa en el tiempo te iguala 3 y bueno qué tiene que pasar para que la cantidad de agua crezca bueno si la tasa a la que entra es mayor a la tasa a la que sale entonces la cantidad de agua estaría creciendo en la tubería estás de acuerdo esto en el tiempo de igual a 3 ahora en otro caso si la cantidad de agua que sale es mayor a la cantidad de agua que entra entonces la cantidad de agua estaría decreciendo así que vamos a escribirlo lo voy a poner así efe y bueno voy a poner tres porque me estoy fijando en el tiempo de igual a tres si era de tres la cantidad de agua a la que entra en el tiempo te iguala tres es mayor que la cantidad de agua a la que sale en el tiempo de igual a tres entonces qué pasa bueno eso significa que la cantidad de agua estaría creciendo así que luego escribe aquí entonces la cantidad de agua crece bien ahora que pase en el otro caso si de de tres es decir la cantidad de agua a la que sale en el tiempo de igual a tres es mayor que la cantidad de agua que entra en el tiempo de igual a tres bueno entonces la cantidad de agua va a decrecer entonces cantidad de agua decrece así que qué te parece si evaluamos estas dos funciones en el tiempo te igual a tres para poder compararlas así que veamos si por aquí me fijo en el valor de rd 3 quiere ser de 3 bueno pues si recordamos la función r es lo mismo que 20 veces el seno de t cuadrada en este caso es 3 elevado al cuadrado entre 35 bien pues cuánto es esto ahora para eso voy a sacar de nuevo mi calculadora por aquí la tengo por acá y vamos a hacer justo esta operación que tengo aquí quiero calcular 20 el seno de bueno 3 al cuadrado 2 99 entre 35 y estoy suponiendo que mi calculadora está en radiales y esto me da 5.09 aproximadamente así que lo voy a notar esto es aproximadamente aproximadamente 5.09 y recuerda esto está dado en pies cúbicos ahora vamos a calcular de de 3 y para eso déjame recordar cuánto valía la función de vamos a subir un poco en la pantalla y aquí está la función de es esta que tengo aquí y esta vez la voy a poner justo por acá para que podamos ver la función y voy a poner menos 0.04 0.04 que multiplica a 3 al cubo esos 27 y a esto hay que sumarle 0.4 que multiplica a 3 al cuadrado lo cual es 9 y a esto habrá que sumarle 0.96 que multiplica a 3 y eso me va a dar 5.4 así que está de lujo lo voy a notar aquí si bajamos de nuevo nuestra pantalla voy a poner que desde 3 es igual a 5.4 y ahora puedes ver que de de 3 es más grande que el de 3 lo que quiere decir que sale más agua de la que entra entonces entonces la cantidad de agua cantidad de agua va a decrecer de creer el agua se drena más rápido de lo que entra
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