Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 3a

johana trota a lo largo de un camino recto para 0 menor o igual que te menor igual que 40 la velocidad de johana está dada por la ecuación diferencial v algunos valores de vedette en donde t está dado en minutos y verde tm está dado en metros por minuto se muestran en la siguiente tabla y aquí tenemos esta tabla inciso a usa los datos de la tabla para estimar el valor de prima de 16 y observa no me piden el valor debe de 16 me pidan el valor de prima de 16 ya que en la tabla no tengo el valor de 16 mucho menos el de prima de 16 entonces cómo podemos resolver esto sólo para recordar esto que tenemos aquí es la tasa de cambio de b con respecto al tiempo evaluada en el tiempo de igual a 16 así que podemos estimar la y de hecho esa es la palabra clave lo que vamos a hacer es estimar de prima de 16 y como podemos estimar este valor bueno pues lo que vamos a hacer y de hecho por eso voy a poner aquí que es aproximadamente aproximadamente porque ahora voy a pensar en cuál es el cambio de la velocidad entre el cambio del tiempo cerca de 16 y si vemos por aquí no nos dan 2016 pero nos dan cuánto valen 2012 2012 y 2020 así que vamos a ocuparlo el cambio en la velocidad va a ser de de 20 menos de 12 ok esto lo vamos a dividir entre un cambio en el tiempo que va a ser justo este 20 menos 12 y esto me va a dar bueno aquí tengo que ver de 20 es lo mismo que 240 240 menos de 2 cm que me dicen que es 200 y está dividido entre 20 menos 12 20 menos 12 y bueno esto me va a quedar 40 40 entre 8 o lo que es lo mismo 5 y ya hemos acabado es por eso que es muy bueno poner unidades ya que esto es que tanto cambia la velocidad con respecto al tiempo entonces las unidades serán metros sobre minutos sobre minutos lo cual nos va a dar metros metros sobre minuto al cuadrado y bueno si quieres entender un poco más todo lo que acabamos de hacer qué te parece si ahora resolvemos el mismo problema pero de una manera visual ojo esto no lo tienes que hacer en el examen pero nos servirán a que tengas más intuición sobre lo que está pasando en este problema qué te parece si intentamos graficar todos estos puntos bien pues vamos a hacerlo y para eso voy a bajar un poco la pantalla para que podamos hacer una gráfica por aquí así que me voy a tomar observa que el tiempo siempre nos da valores positivos así que voy a suponer que este es mi eje que en este caso va a ser un eje del tiempo y este va a ser mi este va a ser mi eje y que en este caso va a servir dt muy bien y ahora observan btt toma valores entre 0 y bueno aquí el más grandes 240 o el más pequeño es menos 220 entonces vamos a hacer una escala de m qué te parece de 300 a menos 300 así que si aquí tenemos a 300 por aquí voy a decir que tengo a 200 y por aquí voy a decir que tengo a 100 por aquí voy a tomarme a menos 300 a menos 300 y entonces por aquí voy a tener a menos 200 y al menos 100 bien y observa que el tiempo va desde 0 hasta 40 así que sí supongo que aquí es el valor de 40 muy bien entonces a la mitad a la mitad es el valor de 20 por aquí tengo el valor de 10 y por aquí tengo el valor de 30 entonces aquí tengo 30 aquí tengo 20 y aquí tengo 10 y ahora sí vamos a poner estos puntos y para eso voy a cambiar de color observa que el primer punto que me dan es el 0,0 estamos justo aquí y después dicen cuándo toma el valor de 12 vete te toma el valor de 200 así que 12 está como por aquí vd te toma el valor de 200 estamos justo por aquí muy bien después dicen cuando te toma el valor de 20 desde te toma el valor de 240 así que ten el tiempo es 20 y pdte es 240 estamos como por aquí después dice que cuando el tiempo vale 24 btt vale menos 220 eso quiere decir que cambio de dirección cuando el tiempo vale 24 que estamos más o menos por aquí cambiamos de dirección a menos 220 que es más o menos por aquí de lujo y por último nos dicen que cuando te vale 40 btt vale 150 cuando el tiempo es de 40 btt es de 150 así que estamos por aquí y si observas estos son los puntos que me dan la función velocidad pero lo que nosotros queremos encontrar primero es el tiempo te iguala 16 que está como por aquí y ahora lo que nosotros queremos saber es cuánto vale de prima de 16 cuando es la tasa de cambio ahora observa que no sabemos cuánto vale en vez de 16 pero lo que podemos hacer y esto esencialmente es lo que hicimos en este problema lo que vamos a hacer es aproximar o estimar a una función que se parezca justo esta recta que tengo aquí es decir a la recta entre estos dos puntos y de esta recta vamos a tomar la pendiente porque queremos b prima de 16 b prima de 16 será aproximadamente la pendiente de esta recta porque al final esto es lo mejor que podemos hacer con los datos que nos dan con esto vamos a estimar el valor de prima de 16 entonces lo que literalmente hicimos fue primero calcular el cambio en tiempo que fue más o menos este este fue nuestro cambio en yen es decir el cambio en la velocidad ya eso lo dividimos entre la diferencia o el cambio en el tiempo que es justo este de aquí es decir el cambio en el tiempo y así obtuvimos la pendiente de esta recta que al final es la mejor aproximación para la derivada cuando te vale 16