Revisa tus conocimientos sobre puntos de inflexión y de cómo usar cálculo diferencial para encontrarlos.

¿Qué son los puntos de inflexión?

Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde la gráfica de una función cambia de concavidad (de \cup a \cap, o viceversa).
¿Quieres aprender más sobre los puntos de inflexión y su relación con el cálculo diferencial? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: analizar puntos de inflexión graficamente

Problem 1.1
¿Cuántos puntos de inflexión tiene la gráfica de f?
Escoge 1 respuesta:
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Conjunto de práctica 2: analizar puntos de inflexión algebraicamente

Los puntos de inflexión se encuentran de forma similar que los puntos extremos. Sin embargo, en vez de buscar puntos donde la derivada cambia de signo, buscamos puntos donde la segunda derivada cambia de signo.
Encontremos, por ejemplo, los puntos de inflexión de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, start superscript, 3, end superscript, minus, 6, x, start superscript, 2, end superscript.
La segunda derivada de f es f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
Primero, derivamos f para encontrar f, prime:
=f(x)=ddx(12x4+x36x2)=12ddx(x4)+ddx(x3)6ddx(x2)=12(4x3)+(3x2)6(2x)=2x3+3x212x\begin{aligned} &\phantom{=}f'(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2) \\\\ &=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}(x^4)+\dfrac{d}{dx}(x^3)-6\dfrac{d}{dx}(x^2) \\\\ &=\dfrac{1}{2}(4x^3)+(3x^2)-6(2x) \\\\ &=2x^3+3x^2-12x \end{aligned}
Ahora podemos derivar f, prime para encontrar f, start superscript, prime, prime, end superscript:
=f(x)=ddx(2x3+3x212x)=2ddx(x3)+3ddx(x2)12ddx(x)=2(3x2)+3(2x)12(1)=6x2+6x12=6(x2+x2)=6(x+2)(x1)\begin{aligned} &\phantom{=}f''(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(2x^3+3x^2-12x) \\\\ &=2\dfrac{d}{dx}(x^3)+3\dfrac{d}{dx}(x^2)-12\dfrac{d}{dx}(x) \\\\ &=2(3x^2)+3(2x)-12(1) \\\\ &=6x^2+6x-12 \\\\ &=6(x^2+x-2) \\\\ &=6(x+2)(x-1) \end{aligned}
f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 para x, equals, minus, 2, comma, 1, y está definida para todos los números reales. x, equals, minus, 2 y x, equals, 1 dividen la recta numérica en tres intervalos:
Evaluemos f, start superscript, prime, prime, end superscript en cada intervalo para ver si es positiva o negativa en ellos.
IntervaloValor de xf, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisVeredicto
x, is less than, minus, 2x, equals, minus, 3f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0f es cóncava hacia arriba \cup
minus, 2, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0f es cóncava hacia abajo \cap
x, is greater than, 1x, equals, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0f es cóncava hacia arriba \cup
Podemos ver que la gráfica de f cambia de concavidad en x, equals, minus, 2 y x, equals, 1, por lo que f tiene puntos de inflexión en ambos valores de x.
Problem 2.1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, x, start superscript, 3, end superscript, minus, 18, x, start superscript, 2, end superscript
¿Para cuáles valores de x la gráfica de g tiene un punto de inflexión?
Elige todas las respuestas adecuadas:
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