Ejemplo: puntos de inflexión a partir de la primera derivada

o sea que una función derivable definida en el intervalo menos 66 la gráfica de la derivada que prima se muestra a continuación la gráfica de la derivada esta es la gráfica de la derivada de gm que prima déjeme subrayarlo porque eso es muy importante la derivada que prima es esta que tengo aquí esta es la gráfica no es la gráfica de ejemplo y nos preguntan cuál es el valor de x para el punto de inflexión más a la izquierda de la gráfica de g ok me preguntan el valor de x para el punto de inflexión más a la izquierda de la gráfica define así que qué te parece si recordamos un poco qué es lo que pasa en los puntos de inflexión y vamos a aplicarnos qué es lo que pasa en g prima heavy prima y bien g así que para eso déjame hacer una tabla por aquí voy a tener más o menos algo así y bueno algo así y voy a fijarme en el imán aquí tengo a mi prima aquí tengo prima y aquí tengo a la función original la segunda derivada la primera derivada y la función g ok y qué es lo que pasa cuando tenemos un punto de inflexión bueno en un punto de inflexión la segunda derivada cambia de signo es decir cambia de positivo a negativo o de negativo a positivo así que consideremos el primer caso vamos a ver el primer escenario donde heavy prima va a cambiar de positiva de positiva positiva a negativa negativa de iván y bien si eso es lo que pasa con heavy prima con la segunda derivada entonces vamos a pensar qué es lo que pasa con la primera derivada y con la función original que es lo que va a pasar con la primera derivada bueno recuerda la segunda derivada es la derivada de la primera derivada entonces si gm impriman es positiva eso significa que la primera derivada está creciendo y si la segunda derivada es negativa eso quiere decir que la función repriman va a estar decreciendo dicho de otra manera si la segunda derivada va a cambiar de positiva negativa eso quiere decir que la primera derivada va a cambiar de crecer a decrecer lo voy a notar así decrecer ha de crecer crees muy bien y ahora qué va a pasar con la función por sí misma bueno podemos verlo así si mi prima es positiva entonces la pendiente está constantemente creciendo y eso significa que tenemos una concavidad hacia arriba lo voy a poner aquí con cavidad hacia arriba y bueno tenemos una concavidad hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva pero cuando la segunda derivada es negativa entonces mi función va a cambiar a una concavidad hacia abajo concavidad hacia abajo pero como solamente tenemos la gráfica de g prima entonces vamos a fijarnos en qué es lo que tiene que pasar con qué prima y lo que nos dice aquí es que nos vamos a fijar en cuando mi prima cambia de crecer a decrecer ok pues vamos a verlo aquí estamos creciendo creciendo creciendo creciendo creciendo llegamos a este punto y después de este punto déjame ponerlo así y después de este punto empezamos a decrecer de crecer de crecer después crecemos crecemos crecemos crecemos crecemos y en este punto otra vez empezamos a decrecer y bueno así seguimos ahora este no es el único caso en donde tenemos un punto de inflexión todavía no hemos acabado porque un punto de inflexión lo encontramos en todos los casos cuando un gen impriman cambia de signo y en este caso tengo el cambio de signo de positivo a negativo de una función positiva a una función negativa pero también hay otro caso en el caso en que tengamos gente prima negativa lo voy a escribir así me da viva y que cambien ahora a positiva o sí y bueno eso quiere decir que prima cómo se va a comportar bueno eso quiere decir que eje prima va a cambiar de de crecer a crecer y lo voy a poner así desde crecer crecer va a cambiar a crecer así que fijémonos ahora en qué momento que prima cambia de crecer a crecer y para eso nos vamos a fijar aquí aquí estamos creciendo de crecemos y aquí cambiamos de crecer a crecer así que aquí tengo otro punto de inflexión aquí tengo otro más y después crecemos crecemos crecemos de crecemos y aquí otra vez cambiamos desde crecer a crecer entonces estos cuatro puntos son puntos de inflexión que ya encontramos al menos de una manera visual bien y si ahora vemos las opciones y buscamos la respuesta a la pregunta original que decía cuál es el valor de x para el punto de inflexión más a la izquierda de la gráfica de gel bueno pues ahora puedes ver que es x igual a menos 3 así que lo voy a poner justo así esta es mi respuesta si observas x igual a menos 1 también me da un valor de un punto de inflexión x igual a 2 también me da el valor de x de un punto de inflexión y también de x igual a 4 de hecho todos estos son los valores que toma x en los puntos de inflexión pero que están más a la izquierda es x igual a menos 3 en este intervalo