Revisa tu conocimiento sobre la regla de la cadena para derivadas, y utilízalo para resolver problemas.
La regla de la cadena establece que:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Nos dice cómo diferenciar funciones que son la composición de dos funciones más sencillas, una función interior g, left parenthesis, x, right parenthesis y una función exterior f, left parenthesis, x, right parenthesis.

¿Qué problemas puedo resolver con la regla de la cadena?

La regla de la cadena solo aplica a composiciones de funciones, es decir, funciones que pueden escribirse como start color greenD, f, left parenthesis, end color greenD, start color goldD, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color goldD, start color greenD, right parenthesis, end color greenD. Así, naturalmente, una habilidad clave para utilizar la regla de la cadena es ser capaz de identificar composiciones de funciones. Si una función no es una composición de funciones, no podemos usar la regla de la cadena.
Por ejemplo, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript puede verse como
donde las funciones interior y exterior son:
g(x)=56xfunción interiorf(x)=x5función exterior\begin{aligned} \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{función interior} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{función exterior} \end{aligned}
Puesto que tenemos una función compuesta en nuestras manos, podemos derivar usando la regla de la cadena. Pero antes de aplicarla, encontremos las derivadas de las funciones interior y exterior (el cálculo no se muestra):
g(x)=6f(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Ahora apliquemos la regla de la cadena:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Errores comunes

Aquí hay tres errores comunes que cometen los estudiantes cuando aplican la regla de la cadena:
Confundir productos y composiciones: especialmente con funciones trascendentes (por ejemplo, funciones trigonométricas y logarítmicas), los estudiantes a menudo confunden productos como natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis con composiciones como natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. La regla de la cadena solo aplica a composiciones de funciones —necesitaríamos usar la regla del producto para productos—.
Olvidar multiplicar por la derivada de la función interior: en el ejemplo anterior, multiplicamos por start color maroonD, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color maroonD, pero muchos estudiantes olvidan esta parte. Es decir, algunos estudiantes calculan start color blueD, f, prime, left parenthesis, start color goldD, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color goldD, right parenthesis, end color blueD en vez de start color blueD, f, prime, left parenthesis, start color goldD, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color goldD, right parenthesis, end color blueD, dot, start color maroonD, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color maroonD.
Calcular f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis: si no prestas suficiente atención, puedes calcular accidentalmente f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en vez de f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Observa cómo g, left parenthesis, x, right parenthesis, no g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, es la función que debe estar dentro de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Ejemplos adicionales

Considera la derivada de tangent, left parenthesis, x, start superscript, 2, end superscript, right parenthesis. Observa que si u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 2, end superscript y v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, tangent, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces tangent, left parenthesis, x, start superscript, 2, end superscript, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Estamos lidiando con una composición de funciones, por lo que podemos aplicar la regla de la cadena.
=ddx(tan(x2))=ddx[v(u(x))]Sean u(x)=x2 y v(x)=tan(x).=v(u(x))u(x)Regla de la cadena.=sec2(x2)2x=2xsec2(x2)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x^2)\right) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}\left[v\Bigl(u(x)\Bigr)\right]&&\gray{\text{Sean }u(x)=x^2\text{ y }v(x)=\tan(x).} \\\\ &=v'\Bigl(u(x)\Bigr)\cdot u'(x)&&\gray{\text{Regla de la cadena.}} \\\\ &=\sec^2(x^2)\cdot 2x \\\\ &=2x\sec^2(x^2) \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problem 1
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, space, question mark
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Ejemplos con tablas

Supón que nos dan esta tabla de valores:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 25minus, 116
4minus, 4minus, 208
H, left parenthesis, x, right parenthesis está definida como f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, y nos piden encontrar H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
La regla de la cadena nos dice que H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis es f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Esto significa que H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis es f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis. Ahora sustituyamos los valores de la tabla en la expresión:
H(4)=f(g(4))g(4)=f(2)8g(4)=2 , g(4)=8=18f(2)=1=8\begin{aligned} H'(4)&=f'\Bigl(g(4)\Bigr)\cdot g'(4) \\\\ &=f'(-2)\cdot 8&&\gray{g(4)=-2\text{ , }g'(4)=8} \\\\ &=1\cdot 8&&\gray{f'(-2)=1} \\\\ &=8 \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problem 1
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

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