Segundas derivadas (funciones paramétricas)

tenemos aquí un conjunto de ecuaciones paramétricas donde x ambas están definidas en términos de t así es que si evaluamos a estas funciones en todos los posibles valores de t y después los gráfica moss vamos a obtener una curva en el plano x ahora lo que quiero que hagamos es que encontremos la derivada de y con respecto a x y también la segunda derivada de g con respecto a x y ambas van a estar en términos de t así es que empecemos primero encontrando la derivada de y con respecto a x la derivada de jake con respecto a x es igual a y esto ya lo hemos visto en otros vídeos esto es igual a la derivada de g con respecto a t entre la derivada de x con respecto a t y bueno es es igual a ver cuál es la derivada de jake con respecto a t de i d t es igual a aquí la derivada de y elevado a la 3 t con respecto a 3 t alatriste y luego la derivada de 3 t con respecto a t estrés así es que multiplicamos por 3 aunque podríamos poner este 3 por acá y luego la derivada de menos 1 pues no importa como cambie t menos uno se va a quedar exactamente igual por lo que su derivada es cero así es que por acá la derivada de jake con respecto a t estrés por el elevado a la 3 t y esto lo estamos dividiendo entre la derivada de x con respecto a t y la derivada de x con respecto es igual a bueno empezamos con esta constante y la derivada de y elevado a la potencia 2 t con respecto a 2 t es el ala 2 t pero luego tenemos que encontrar la derivada de 2 t con respecto a t lo cual es 2 así es que en total nos queda 6 x a la 2 t por el 2t y esto a cuánto es igual ya estamos utilizando un color un poco más neutral por aquí tres sextos es un medio y acá tenemos a la tres t menos dos t y para llegar a esto simplemente estoy utilizando las propiedades de los exponentes pero ya que estamos aquí sí tenemos tres test y le quitemos dos nos queda simplemente una t entonces esto de aquí se simplifica y nos queda una sola t y listo ya encontramos la derivada de jake con respecto a x en términos de t pero ahora como encontramos la segunda derivada con respecto a x como encontramos la segunda derivada de y con respecto a x como lo hacemos para encontrar esto bueno te voy a dar una pista vamos a utilizar esto mismo que tenemos aquí si quieres encontrar la derivada de algo con respecto a x lo que puedes hacer es encontrar la derivada de ese algo con respecto al tiempo y lo dividimos entre la derivada de x con respecto al tiempo y cómo le hacemos para encontrar esto bueno pues vamos a derivar con respecto al tiempo a la primera derivada de ye con respecto a x pero lo tenemos que escribir paso por paso así es que vamos a encontrar la derivada con respecto al tiempo d y esto que tenemos aquí de g de equis y esto lo vamos a dividir entre la derivada de x con respecto al tiempo si por el momento no te parece claro que aquí estamos utilizando la misma idea que tenemos aquí ponle una pausa al vídeo y piénsalo un poquito más y bueno veamos que estábamos haciendo aquí aquí estábamos buscando la derivada de y con respecto a x y para encontrarla lo que hicimos fue encontrar la derivada de y con respecto al tiempo y lo dividimos entre la derivada de x con respecto al tiempo por acá lo que queremos es encontrar la segunda derivada de y con respecto a x pero a ver tal vez lo podemos explicar un poco mejor por acá estábamos buscando la derivada de ye con respecto a x y para encontrarla lo que hicimos fue encontrar la derivada de jake con respecto al tiempo derivada de y con respecto al tiempo y dividirla entre la derivada de x con respecto al tiempo pero ahora queremos encontrar la derivada con respecto de x pero en lugar de y de la derivada de y con respecto a x entonces lo que tenemos que hacer es sustituir ayer por la derivada de ye con respecto a x siempre que veamos una y vamos a poner la derivada de jake con respecto a x y nos queda así aquí tenemos la derivada con respecto a t derivada con respecto a t de en lugar de y ponemos la derivada de y con respecto a x porque ok aquí pusimos del dt pero esto es simplemente anotación lo voy a escribir de otra forma es igual a la derivada con respecto a t de g así es que para que teníamos una y ahora tenemos de jett de x y aquí ya nada más nos falta poner de x de t pero bueno regresando por acá esto puede verse como algo muy difícil pero en realidad es muy sencillo evaluarlo tomar la derivada con respecto de t de la primera derivada de jake con respecto de x es simplemente tomar la derivada con respecto de t de esta expresión de aquí y esto es muy sencillo tenemos por aquí la constante un medio por la derivada de a la t que es simplemente a la t y eso lo estamos dividiendo entre la derivada de x con respecto de t que la tenemos por acá que es por el lado este y esto lo podemos escribir como 1 entre 2 por 6 x al menos 2 tb y esto lo podemos escribir como 1 entre 12 por el ala menos t o como uno entre 12 por el ala t y ya terminamos