Longitud de arco de una curva parametrizada

esta vez vamos a trazar una curva donde nuestra coordenada x y no esta coordenada james sean funciones de un tercer parámetro t entonces podemos decir que x es una función de t y también podemos decir que james es una función de t si esto te es completamente desconocido te encargo que veas los vídeos de ecuaciones paramétricas en khan academy de lo que quiero hablar y vamos a pensarlo en forma general en vídeos futuros hablaremos de una manera más concreta en algunos ejemplos ahora lo que quiero es que pensemos en cuál es la trayectoria o el camino que traza esta función desde te iguala por lo tanto aquí voy a tener el punto x de am ideam perfecto y vamos desde ese punto donde t es igual a am hasta el punto de iguala ver no sé imaginemos que mi curva hace algo más o menos así entonces aquí tenemos el punto cuando te es igual a b es decir el punto x de bmw y pensemos en cómo podemos encontrar la longitud de arco de esta curva bueno para obtenerla vamos a hacer un acercamiento y pensar en qué es lo que está pasando cuando tomamos un cambio muy pequeño en t así que imagina que empezamos en este punto de aquí y tenemos un cambio muy pequeño en t así que vamos de este punto a este otro punto es decir sobre un camino muy pequeño el tema y de hecho este cambio debería ser más pequeño pero si fuera más pequeño tendrás problemas en verlo así que supongamos que este es mi pequeño cambio en tema de nuestra trayectoria y por lo tanto queremos encontrar esta longitud bueno podemos descomponerlo en cuanto nos movemos en dirección x y en cuanto nos movemos en dirección jeff así que en dirección x nos movemos con un cambio muy pequeño en x ya que será igual este cambio bueno este será la tasa de cambio de x con respecto a t por un pequeño cambio en t y yo sé que esto es poco riguroso ya que estoy usando una anotación diferencial conceptualmente estoy usando la idea de diferencial común infinitesimalmente pequeño en esta variable pero esta no es una prueba formal sin embargo nos va a dar la intuición de cómo podemos derivar una longitud de arco cuando estás trabajando con ecuaciones paramétricas así que espero que esto te dé la intuición de que este es nuestro de x / dt que podemos escribir también como x prima de t y a esto lo estoy multiplicando por dt y ahora para nuestro cambio james vamos a tener la misma idea nuestro cambio infinitesimalmente pequeño el tiempo lo podemos ver como el cambio en que con respecto a t por nuestro pequeño cambio en t de t es decir esto es igual a ye prima de t por de tema y bueno basándonos en esto como podemos escribir este pequeño cambio en nuestra longitud de arco bueno para ello podemos usar nuestro teorema de pitágoras ya que esta longitud de arco es simplemente la hipotenusa de este triángulo rectángulo entonces será la raíz cuadrada de de x al cuadrado más d al cuadrado o lo podemos escribir de la siguiente manera como la raíz cuadrada de x prima de t por de t esto elevado al cuadrado más que prima de t por dtm esto también elevado al cuadrado y ahora intentemos simplificar un poco esta expresión recuerda estamos hablando de cambios infinitesimalmente pequeños por aquí así que podemos factorizar un dt al cuadrado de aquí porque es un factor común en ambos suman dos y entonces me va a quedar la raíz 4 de éste dt al cuadrado así que déjame ponerlo al principio observa esto va a ser igual a la raíz cuadrada de dt al cuadrado que multiplica a su vez a x prima de t esto elevado al cuadrado más 10 prima de t esto también elevado al cuadrado hay que ser claros el dt elevado al cuadrado multiplica los dos suman 2 por lo tanto ahora puedo simplemente sacarlo de este radical así que todo esto me va a quedar como la raíz cuadrada de x prima de tema esto elevado al cuadrado más de prima de t esto elevado al cuadrado ya todo esto lo estoy multiplicando por de t al final sacamos este dt del radical bien podría ponerlo en un principio pero creo que queda mucho mejor hasta el final así que multiplican a estos dos y ahora esto que acabamos de encontrar es simplemente una forma de reescribir la expresión para este pequeño cambio infinitesimal en esta longitud de arco para nuestra suerte en cálculo obtenemos herramientas para sumar todos los cambios infinitesimalmente pequeños ya que eso es justo lo que hace la integral definida así que si queremos sumar todos los cambios esté más se esté más este más extremas este ojo recuerda que son cambios infinitesimalmente pequeños no los estoy mostrando tan infinitesimalmente pequeños pero esto nos sirve para poder pensar en estos cambios si queremos sumar todos estos principalmente lo que tenemos que hacer es tomar la integral y como estamos integrando con respecto a tema entonces será desde t igual a am hasta t igual a b y así es como obtenemos al menos una forma conceptual la fórmula para encontrar la longitud de arco cuando estamos trabajando con ecuaciones paramétricas así que en los siguientes vídeos aplicaremos esta fórmula de longitud de arco en algunos ejemplos así que nos vemos en el siguiente vídeo