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Transcripción del video

en el último vídeo esperamos haber conseguido un conocimiento decente sobre cómo funciona una función debe de de valores vectoriales o mejor aún una posición es una función de posición que en cierto modo es digamos un reemplazo a los parámetros tradicionales de cómo se escribe una curva verdad en este vídeo quiero hacer una introducción al significado de lo que es la derivada o de cómo hacer una deriva de una función de valores vectoriales en este caso será respecto a un parámetro p así que déjenme dibujar a algunas cosas nuevas por aquí digamos que tengo la función de vectorial r dt ok que le ponemos conflicto verdad y esto no es diferente a lo que hice en el vídeo anterior esto es x dt por y más siete por j donde y j son nuestros vectores unitarios en la dirección x y lleve verdad además bueno si queríamos hacer una curva en en el espacio agregaríamos una z dt por cada verdad así que bueno esto escribe simplemente a una curva que está entre los valores dt que te está entre los valores hay de verdad y severas y de que me dejen esforzarme en dibujar algo algo interesante voy a dibujar no se curva salazar por aquí digamos que la curva se vería algo así ok esto es cuando te vale a y que irá en esta dirección y hasta acá es cuando te vale b 10 cuando vale a ok y esto sería xd a y acá llegué a por supuesto de este lado sería x debe y acá arriba estaría llevé muy bien ahora lo que vimos en el último vídeo que lo que describe esta curva son los extremos de estos vectores de posición así que esto es rda esto es rda este vectores rda y pero bueno lo que quiero pensar es cuál es la diferencia entre dos puntos y digamos vamos a coger dos puntos al azar algunos ted al azar así que digamos que estés rdp ok voy a hacerlo de este lado y con colores un color más agradable entonces digamos que estoy aquí es rd alguna p alguna te concreta no sé cuál sea pero es r dt y ya sabes bueno no sé si esto es alguna ten particular digamos que quiero yo saber digamos cómo aumenta la función cuando aumenta la de decir vamos a ver qué pasa con una erre de temas h si vemos al parámetro te como tiempo digamos que sí aumentó un poquito el tiempo en alguna cantidad ahora vamos a estar por aquí verdad aquí en amarillo este va a ser héroe dt más un período de tiempo h ok un valor ligeramente mayor para cht ahora tenemos que preguntarnos qué tan rápido que qué tan rápido es ésta r cambiando respecto a t aunque entonces lo primero que hay que decir es cuál es la diferencia entre estos dos vectores y yo si yo tomo estos dos y quisiera visualizar la diferencia digamos aquí tengo ere que es nuestra posición y lo evaluamos en temas h y de ahí hay que restar rd te estés rt y que conseguiríamos tenemos que revisar el álgebra de vectores verdad pero básicamente conseguimos este vector remarcarlo con un color agradable es este vector verdad es que estoy pintando en magenta este vector en magenta déjame de gm déjeme ver esto que éste es rd temas h - r dt verdad ok ahora debe tener sentido porque cuando añades los vectores es como colocar el segundo en la cabeza verdad es decir por ejemplo tenemos nuestro rdp que es el verde más y si le sumamos este morado que es rd temas h - r dt es todo este vector cuando cuando añadimos los vectores en realidad es como poner este segundo vector morado en la cabeza del verde verdad entonces cuando hacemos esto simplemente lo que nos nos da como resultado es este amarillo y cómo lo predije verdad va a ser igual al amarillo que es rd temas h y esto se puede ver fácilmente también porque al que prácticamente se cancelan los rd de verdad éste y éste se cancela iban a cancelarse espero que haya quedado claro de cómo cómo encontrar la dirección del vector tangente no estamos diciendo éste en realidad estamos o no estamos diciendo que sea este vector verdad cuando hacemos la resta en realidad es un vector anclado en el origen como todos los vectores pero bueno se puede entender más o menos de esta forma así que este individuo de aquí este vector literalmente describe el cambio pero lo que nos interesa es como buenos primero déjenme desarrollar esto esto y esto va a ser igual a esto es lo mismo que x de que dejen de hacerlo y hacerlo acá el primer vector es x de temas h que multiplica a nuestro vector unitario y y también tiene y de temas h que multiplicar víctor j ok éste es sólo el primer vector todo esto es el primer vector y ahora hay que restarle rd t así que esta parte va a ser menos lo podría hacer acá pero vamos a hacerlo acá abajo - x dt ok por y menos aquí serían menos distribuyendo el signo menos siete por j bay en realidad de que escribirlo de esa forma no estamos restando este vector que es rd de verdad así que es este individuo de acá así que tienes x dt por y más siete por jota y restamos todo este vector verdad que es multiplicar por lo menos además podemos revisar un poco de signos y no te acuerdas muy bien de qué estamos hablando exactamente verdad revisada a otros vídeos sobre álgebra de vectores o que selló así que bueno yo creo que voy a necesitar un poco más de espacio para poder continuar con esto de que no escribirlo por acá así que tengo r de temas h ok - r dt y ahora éstos voy a agrupar porque los primeros dos vectores del amarillo y el morado tienen como como componente ahí entonces déjame agregue a agrupar esto así que tenemos x de temas h - x dt y todo esto va a multiplicar a nuestro vector y que es el vector unitario en la dirección xv verdad y ahora a continuación vamos a sumar siete masache que le restan 17 todo esto lo agrupamos y multiplica al vector unitario j verdad sólo estoy reordenando las cosas por ahora y esto lo que nos está diciendo es el cambio entre estas dos erres verdad entre rd temas h - r de té donde aquí h es la cantidad que aumentó el tiempo ahora lo que quiere o lo que quiero todo lo que dijimos que queríamos averiguar cuál es el cambio instantáneo verdad debe así que lo que quiero ver es bueno cuando hizo este cambio durante un pero un período de ahora sobre tiempo no en lograr en lugar de escribir h pudimos haber escrito del tate ec pero bueno aquí lo que hace falta es dividir entre h lo que quiero decirle a mis vectores cambian mucho pero quiero decir que tiene que cambiar durante un período de tiempo y esto es análogo a a dividir o utilizar el del tate verdad aquí h es nuestra del tate ok este es el cambio el cambio que hay por unidad de tiempo así que lo que hay que dividir es por h verdad aunque la diferencia entre tey temas h es h así que vamos a dividir todo / h / h estamos realmente multiplicando un un vector por un escalar simplemente o bueno en este caso estamos dividiendo que en realidad es nadamás multiplicar o dividir cada una de las componentes verdad así que para cualquier diferencia h nos está diciendo esta diferencia cuánto cambia o cómo cambia el vector r verdad pero bueno en realidad queremos hallar el cambio instantáneo así que vamos a hacer algo análogo la pendiente como cuando estamos viendo los primeros videos de cálculo y la ruta de acceso en cuestión déjenme hacer un ejemplo más o menos algo así digamos que fuera un trazo lineal ok es decir si nuestro camino fuera como una línea roja nuestro cambio promedio en digamos digamos que tuviéramos dos vectores de posición no uno de ellos está aquí no tienen que ser necesariamente paralelos verdad por ejemplo obtener ese y potenciar este otro gay y luego para describir el cambio entre estos dos por hache o por unidad de tiempo estamos calculando el cambio en nuestro parámetro verdad esto es el h que también podríamos considerarlo como la del tate la gente encuentra más fácil escribir h verdad que la delta pero bueno de todas formas estoy preocupado por el cambio instantáneo que estamos tratando con curvas en general no necesariamente líneas así que bueno si queremos hacer esto podemos tomar como en casos anteriores el límite cuando h tiende a cero así que vamos a tomar el límite de ambos de ambos lados vamos a utilizar colores vibrantes para para esto entonces cuando tomamos el límite cuando h tiende a cero de ambos lados así que aquí también tomamos el límite en este su mando y también en éste su mando cuando h tiende a cero lo que quiero decir es bueno que pasa o cuánto cambia nuestro r por un cambio muy pequeño verdad cuando la diferencia se hace cada vez más y más y más pequeña es exactamente lo que aprendimos primero cuando calculábamos la pendiente la velocidad instantánea haber dado la pendiente de una recta tangente bueno esto parece un poco esto parece como de la forma indefinida verdad porque estamos dividiendo entre un cero digamos pero para suerte de nosotros esta expresión de aquí es ya muy conocida y de hecho es la derivada verdad estamos multiplicando esta es una derivada multiplicando a un vector así que esto es simplemente x prima de teo la deriva de x respecto de p estoy aquí es prima de té o bien la deriva de ye respecto así que de repente podemos definir esta de derivada de rr cómo está derivada está de river está derivada esto es lo que vamos a llamar a la deriva de r r prima dt ajá ok aunque también podríamos llamar de rd te ha visto aquí es simplemente es es notación pero bueno bueno este su derivada y esto va a ser igual ok escribirlo y reprima dt es igual a bueno esto que es la deriva de x con respecto a tt rs x prima de té y que multiplica al vector unitario y verdad más ye prima de de que multiplica al vector unitario hot en el sentido vertical verdad es un resultado bastante bonito y muy sencillo por la cosa difícil puede ser para en realidad la cosa difícil es para en que se aplica verdad si pensamos en lo que sucede permítanme hacer algo más gráfico sólo para obtener la visualización de una manera digamos saludable así que vamos a decir que éste es mi curva y vamos a decir que queremos averiguar el cambio instantáneo de este punto justo aquí es rd te digamos entonces si tomamos rd temas h lo vimos ya es digamos puede ser un punto por acá esto puede ser rd temas h ok ahora mismo la la diferencia entre estos dos y esto es sólo el el número el vector que apunta de rd a rd temas h verdad ok es difícil de visualizar aquí un poquito lo que voy a decir pero lo que quiero hablar es sobre las magnitudes por ejemplo estos dos la diferencia es de este vector pero luego cuando dividimos por h sea y si pensamos que ha hecho es un número pequeño digamos menor que uno vamos a obtener un vector mayor verdad pero este es el el cambio promedio que tenemos pero como ha hecho tiene más pequeños y más pequeños valores está r prima dt su dirección va a ser tan gente a la curva y creo que sí pueden visualizar esto estos estos llegan a hacer más y más y más cerca ok la diferencia digamos la diferencia se hace cada vez más pequeña sin embargo al multiplicar por nuestra h el la magnitud del vector cambia la dirección en la que se va aproximando cada vez más a la tangencial a una tangente a la curva verdad pero entonces como les decía estamos también dividiendo por un h muy pequeña es decir estamos tomando el límite de h cuando h tiende a cero entonces a lo mejor la magnitud de este vector es difícil de visualizar pero puede variar verdad y esa magnitud va a ser dependiente de la parametrización de la curva la dirección es la que depende de la forma ok la magnitud no depende de la forma depende de la parametrización entonces se reprima están gente a la curva o podrían imaginar que este vector está sobre la línea tangente la curva la magnitud de la misma es un poquito difícil de entender y voy a intentar darle intuición en el siguiente vídeo pero esto es lo que quiero que ustedes entiendan ahora mismo porque vamos a utilizar esto en el futuro cuando hagamos integrales de línea sobre funciones con valores vectoriales
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